Псевдослучайные числа. Основные способы генерации базовых случайных величин

Рисунок 13 - Смеситель потоков

Уравнения материального баланса i-го компонента

, i = 1, 2,.. N,

где C_i - массовая доля i-го компонента в выходном потоке;

C_1i, C_2i - массовые доли i-го компонента в первом и во втором входных потоках,

N - число веществ в потоке.

Очевидно, что .

Уравнение теплового баланса имеет вид

, (8)

где C_p, t - удельная теплоемкость и температура выходного потока;

C_p1, C_p2, t₁, t₂ - удельные теплоемкости и температуры входных потоков.

Отсюда

. (9)

Температурная зависимость удельной теплоемкости i-го вещества в j-м потоке может быть представлена как функция температуры в виде

(10)

где a_i, b_i, c_i, d_i - эмпирические коэффициенты, определяемые для i-го вещества по таблицам.

Для решения уравнения (9) воспользуемся методом простой итерации

,

где k=1, 2, ... - номер итерации.

Условие окончания счета: . В качестве начального приближения можно принять .

19 Построение аналитических моделей технологических аппаратов: теплообменник

При построении математического описания теплообменника (рисунок 14) применяются следующие допущения /4/:

- рассматривается стационарный режим;

- теплоотдача не сопровождается изменением агрегатного состояния теплоносителей;

- потери тепла не учитываются;

- схема движения теплоносителей - противоточная;

- коэффициенты теплоотдачи в трубном и межтрубном пространствах рассчитываются при начальных температурах теплоносителей;

- теплоноситель, отдающий теплоту, направляется в трубы, а теплоноситель, воспринимающий теплоту, - в межтрубное пространство.

Рисунок 14 - Теплообменник

Так как теплообменник не изменяет состава материальных потоков, то:

; ;

, i=1, 2, ...

Здесь G - расход теплоносителя; C - концентрация вещества; индексы «К» и «Н» обозначают конечное и начальное состояния, а «Г» и «Х» - горячий и холодный потоки.

Количество теплоты, переданное через секунду, равно

,

где k_Г - коэффициент теплопередачи; F - площадь поверхности теплообмена; .

Количество теплоты, отданное горячим теплоносителем

;

воспринятое холодным теплоносителем

.

При этом водяные эквиваленты равны

; .

Уравнение теплового баланса теплообменника имеет вид

. (11)

Из уравнения (11) находим:

, где . (11а)

Так как потерями теплоты пренебрегаем, то

. (12)

Подставив (11) в (12) и выполнив простейшие преобразования, получим

,

где .

Коэффициент теплопередачи рассчитываем по формуле

,

где a_Т, a_М - коэффициенты теплоотдачи в трубном и межтрубном пространстве;

år_СТ - сумма термических сопротивлений стенки;

d - толщина стенки внутренней трубы;

l - коэффициент теплопроводности.

Коэффициенты теплопередачи для газовых смесей можно рассчитать по формулам:

,

,

где d_ВН, d_НАР - внутренний и наружный диаметры труб;

N_T - число труб в теплообменнике;

S_M - площадь поверхности межтрубного пространства.

Теплоемкости потоков рассчитываются по формуле (10).

При моделировании объектов и систем управления количество случайных чисел колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования.

Базовой случайной величиной (БСВ) будем называть непрерывную случайную величину равномерно распределенную на полуинтервале [0,1).

На практике используются три основных способа генерации БСВ: аппаратный (физический), табличный (файловый), алгоритмический (программный).

Аппаратный способ генерации случайных величин - это когда используется специальная электронная приставка – генератор (датчик). Физический датчик БСВ – это специальное радиоэлектронное устройство, являющееся приставкой в ЭВМ, выходной сигнал которой имитирует БСВ. Он состоит из источника флуктуационного шума, значение которой в произвольный момент времени является случайной величиной y³0 с плотностью f_y(y) и нелинейного преобразователя.

Недостаток способа:

1) невозможность повторения ранее полученной реализации;

2) схемная нестабильность, приводящая к необходимости контроля работы датчика при очередном его использовании.

Табличный способгенерации БСВ – это таблица случайных чисел, представляющая собой экспериментально полученную выборку реализации равномерно распределенной на полуинтервале [0,1) случайной величины.

Недостаток способа:

1) нехватка табличных случайных величин (ограниченность таблицы);

2) требуется большой объем оперативной памяти ЭВМ для хранения таблиц.

Алгоритмический способ генерации БСВ – это специальная программа, служащая для имитации на ЭВМ реализаций случайных величин.

Непрерывная случайная величина y имеет равномерное распределение в интервале (a,b), если ее функция плотности и распределения соответственно имеют вид

, .

Числовые характеристики случайной величины y, принимающей значения Х: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, которые соответственно равны:

;

;

.

При моделировании объектов и систем приходится иметь место со случайными числами, равномерно распределенными на полуинтервале [0,1). Такое распределение имеет математическое ожидание M[y]=1/2 и дисперсию D[y]=1/12.

Так как на ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность базовых случайных величин, поэтому такую последовательность называют псевдослучайной.