Моделирование сложных событий

Моделирование случайных событий. Моделирование группы случайных событий

Пусть имеются случайные числа x_i, т.е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной в интервале (0,1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i случайной величины x удовлетворяет неравенству

x_i £ р. (13)

Тогда вероятность события А будет . Противоположное событие состоит в том, что x_i > p. Тогда .

Процедура моделирования случайного события состоит в выборе значений x_i и сравнении их с р. При этом, если условие (13) выполняется, то исходом испытания является событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий А₁, А₂, ¼, А_n, наступающих с вероятностями: p₁, p₂, ¼, p_n соответственно. Определим A_m как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i случайной величины x удовлетворяет неравенству

l_m-1 <x_i £ l_m, (14)

где . Тогда .

Процедура моделирования группы событий состоит в последовательном сравнении случайных чисел x_i со значениями l_r. Исходом испытания является событие A_m, если выполняется условие (14).

Сложным событием называется событие, зависящее от двух и более простых событий. Пусть имеются независимые события А и В, имеющие вероятности наступления p_A, p_B. Возможными исходами совместных событий тогда будут события АВ, В, А, с соответствующими вероятностями: p_A p_B, (1-p_A) p_B, p_A (1-p_B),
(1-p_A) (1-p_B).

Для моделирования совместных событий можно использовать два варианта. Первый вариант требует моделирование двух чисел x_i и сравнений для проверки условия (13). При втором варианте можно обойтись одним числом x_i и сравнений для проверки условия (14), но сравнений может потребоваться больше.

Рассмотрим случай, когда события А и В являются зависимыми и наступают с вероятностями p_A и p_B. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло. При этом считаем, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из последовательности случайных чисел {x_i} извлекается очередное число x_m и проверяется справедливость неравенства с использованием условия (13) – x_m < р_А. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В, используется вероятность Р(В/А). Из последовательности случайных чисел {x_i} извлекается очередное число x_m₊₁ и проверяется справедливость неравенства с использованием условия (13) – x_m₊₁ £ Р(В/А). В зависимости от того, выполняется или нет это неравенство, исходом испытания являются АВ или А.

Если неравенство x_m < р_А не выполняется, то наступило событие . Поэтому для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность

Из последовательности случайных чисел {x_i} извлекается число x_m₊₁ и проверяется справедливость неравенства с использованием условия (13) –
x_m₊₁ £ Р(В/). В зависимости от того, выполнено оно или нет, получаем исходы испытания В или .