Простейшие модели, описываемые ДУ первого порядка: уравнения Мальтуса и Ферхюльста

Принципиальный шаг в математическом моделировании явлений природы был сделан 300 лет назад Ньютоном. Именно он предложил для описания динамических систем математический язык ДУ. Свое развитие этот язык получил в работах Лапласа, Эйлера, Коши. Все современные науки (в том числе и биология) используют ДУ и в этом смысле они являются универсальным средством математического моделирования.

Простейшим видом ДУ является автономное ДУ первого порядка:

.

Его решение (т. е. получение зависимости x(t)) находят путем интегрирования обеих частей уравнения по t, то есть:

,

где C – произвольная константа.

Таким ДУ, например, описывается рассмотренная ранее модель Мальтуса:

,

где x – количество членов популяции, q – коэффициент рождаемости.

Разделим переменные и проинтегрируем:

,

,

В данном случае физический смысл константы С – начальная численность популяции. Таким образом, обозначив ее как x₀, окончательно получим решение ДУ:

Графики этой функции при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы q скорости роста представлены ниже:

Рассмотрим еще один пример, который относится к классическим моделям математической экологии. Т. н. «логистическое уравнение» было предложено Ферхюльстом в 1838 г. Оно имеет вид:

,

где K – постоянный коэффициент.

Это уравнение, как и рассмотренное выше, можно решить аналитически.

Приведем сразу решение, опустив детали его получения:

,

при начальных условиях в момент времени : и :

Полученное решение обладает следующими важными свойствами:

1) Если начальный размер популяции небольшой (), то ее численность х быстро возрастает, но по мере увеличения ее рост замедляется (перегиб в точке ), при этом численность приближается снизу к пределу, определяемому коэффициентом K.

2) При среднем начальном размере популяции () численность плавно (без перегиба) возрастает, приближаясь снизу к пределу, определяемому коэффициентом K.

3) При большом начальном размере популяции () численность убывает, приближаясь к пределу, определяемому коэффициентом K,снизу.

Данная модель хорошо отображает динамику колонии простейших микроорганизмов в условиях ограниченных пищевых ресурсов. Если численность популяции превышает некоторое пороговое значение, то в условиях нехватки питания среди членов колонии увеличивается смертность и замедляются процессы размножения.