Стационарные состояния и устойчивость

На примере уравнения Ферхюльста рассмотрим полезный прием анализа ДУ, позволяющий во многих случаях исследовать свойства ДУ, не решая его (т. е. не прибегая к интегрированию).

Речь идет об определении его стационарных состояний (точек покоя, особых точек, состояний равновесия). В стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются со временем. Применительно к автономному ДУ первого порядка () это означает равенство нулю производной его переменной, т. е.:

.

Если левая часть уравнения равна нулю, значит равна нулю и его правая часть, таким образом получаем алгебраическое уравнение:

;

Для модели Ферхюльста оно будет, соответственно, иметь вид:

или, что то же:

.

Решения этого уравнения: и определяют стационарные состояния системы. Первое из них очевидно – при нулевой численности популяции ее увеличение невозможно (некому размножаться). Смысл второго становится ясен при анализе графика полученного выше решения ДУ. Именно к этому значению стремится приблизиться размер популяции вне зависимости от ее начальной численности (кроме нулевого случая).

Реальные биологические системы испытывают многочисленные флуктуации, при этом переменные при малых отклонениях возвращаются к своим стационарным значениям. Поэтому при построении модели важно знать, устойчивы ли стационарные состояния модели.

Каждый имеет интуитивное представление об устойчивости. На рисунке в обоих положениях (а и б) шарик находится в равновесии, т.к. сумма сил, действующих на него, равна нулю.

Попытайтесь ответить на вопрос: «Какое из этих состояний равновесия устойчиво?». Скорее всего, Вы дали правильный ответ. Сказать, как Вы догадались? Вы дали шарику малое отклонение от состояния равновесия. В случае (а) шарик вернулся. В случае (б) покинул состояние равновесия навсегда.
Устойчивое состояние равновесия можно определить так: если при достаточно малом отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки, то особая точка будет устойчивым состоянием равновесия, что соответствует устойчивому режиму функционирования системы.

Таким образом, стационарное состояние называется устойчивым, если малые отклонения не выводят систему слишком далеко из окрестности этого стационарного состояния. Пример – шарик в ямке (с трением или без трения).
Стационарное состояние называется неустойчивым, если малые отклонения со временем увеличиваются. Пример: шарик на горке.

Устойчивое стационарное состояние представляет собой простейший тип аттрактора. Аттрактором называется множество, к которому стремится изображающая точка системы на фазовой плоскости (см. далее) с течением времени. Известны следующие основные типы аттракторов:

· устойчивая точка покоя;

· предельный цикл – режим колебаний с постоянными периодом и амплитудой (начиная с размерности системы 2);

· области с квазистохастическим поведением траекторий в области аттрактора, например, «странный аттрактор» (начиная с размерности 3).

Для аналитического исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений применяют метод Ляпунова (см. курс высшей математики).