Линейные множества.

Непустое подмножество M(Ē) пространства Eⁿ называется (вещественным) линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

1) Если вектора xи y принадлежат M, тоx+y также принадлежит M.

2) Если произвольный вектор x принадлежит M, то lx при любом вещественном значении числа l также принадлежит M.

Из 2) видно, что если xÎM, то -xÎM. Тогда из 1) следует, что 0=x+(-x) также принадлежит M. Если мы осуществим смещение, определяемое фиксированным вектором x⁰ всех векторов непустого подпространства M пространства Eⁿ, то получим подмножество называемое линейным многообразием (афинным подпространством) пространства Eⁿ. Оно не является линейным пространством, так как оно не содержит 0. Прямая в Eⁿ, проходящая через начало является одномерным пространством пространства Eⁿ. Если сместить эту прямую, то мы получим линейное многообразие. Одно и тоже линейное многообразие может быть получено в результате смещений пространства M различными векторами.

Если максимальное число линейно независимых векторов, которые можно найти в M, равно r, то говорят, что M- r-мерное подпространство. Само пространство Eⁿ можно рассмотреть как n- мерное пространство.

Гиперплоскостью в Eⁿ называется множество точек x, удовлетворяющих уравнению

Н_ab={xÎEⁿ|<a,x>=b}, (2.1)

где aÎEⁿ, a¹0_n, bÎE.

Обычно приставку гипер употребляют для обозначения пространств, имеющих более чем три измерения.

Гиперплоскость задает два замкнутых полупространства (рис. 2.5)

Рис.2.4. Пространство и линейное разнообразие.

Н⁺_ab={_ab={xÎEⁿ|<a,x>³ b}, Н^-_ab={_ab={xÎEⁿ|<a,x>£ b},

а также два открытых пространства
Н⁺_ab={_ab={xÎEⁿ|<a,x>> b}, Н⁺_ab={_ab={xÎEⁿ|<a,x> <b}

Рис.2.5. К понятию полупространств

Вектор a, называемый нормалью к гиперплоскости Н_ab, к ней ортогонален и направлен в сторону полупространства Н⁺_ab (рис. 2.5). Гиперплоскость Н_ab и соответствующие полупространства могут быть записаны с помощью некоторой фиксированной точки ÎН_ab. При любом вещественном числе b уравнение <a,x>=b определяет линейное многообразие. Если задан некоторый вектор x⁰ÎEⁿ такой, что <a,x⁰>= b, то линейное многообразие, определяемое уравнением <a,x>= b, можно рассматривать как смещение Н_ab на x₀.

В качестве примера рассмотрим гиперплоскость Н={(x₁, x₂, x₃, x₄) | x₁+x₂-x₃+2x₄=4}. Нормалью к ней является вектор a=(1,1,-1,2)^Т. Эта же гиперплоскость может быть записана с помощью любой другой точки из Н_ab, например с помощью =(0,6,0,-1)^Т. В этом случае Н_ab={(x₁, x₂, x₃, x₄)| x₁+(x₂-6)-x₃+2(x₄+1)=0}.

Любую гиперплоскость в Eⁿ можно задать в виде множества решений уравнения (2.1), подобрав соответствующим образом вектора a и число b.

Любую прямую в Eⁿ можно задать в виде

{xÎEⁿ| x=a+lc, lÎE} (2.2)

соответствующим образом, подобрав вектора a и c из Eⁿ. Если в (2.2) число l ограничено сверху или снизу, то получаем луч. Если l ограничено сверху и снизу, то множество (2.2) задает отрезок.

Отрезком,соединяющим две данные точки x₁,x₂ в Eⁿ называется множество таких точек, координаты x_j которых связаны с координатами x₁ и x₂ соотношениями вида

{x_jÎEⁿ| x_j=lx_j1+(1-l)x_j2, 0 £l £1, j=1:n}.

Конкретный выбор l определяет положение x на отрезке (при l=1 точка x совпадает с x₁, при l=0 - с x₂, при 0<l<1 располагается между ними). Отношение, в котором находятся рассматриваемые x₁, x₂, x можно определить равенством

x=lx₁+(1-l)x₂ (0 £l £ 1).

Понятие «отрезок» тождественно понятию «замкнутый интервал» (рис 2.6)