Открытые, замкнутые, компактные множества.

Множество вида

U_e(x₀)={xÎEⁿ| p(x,x₀)<e}

называют открытым шаром радиуса e с центром в точке x₀ÎEⁿ или e- окрестностью точки x₀ (рис 2.7, a). Аналогично определяется замкнутый шар Ū_e(x₀) (рис. 2.7, б) как множество точек xÎEⁿ, для которых p(x,x₀) £e, т.е.

Ū _e(x₀)={xÎEⁿ| p(x,x₀)£e}.

Рис2.6 К понятию отрезок (замкнутый интервал)

Точку xÎE (EÌEⁿ) называют внутренней точкой множества E, если найдется такое e>0, что U_e(x)<E, т.е. если точка x принадлежит множеству E вместе со своей некоторой окружностью (рис 2.8, а). В этом случае, когда каждая точка множества E является внутренней, это множество называют открытым множеством, например, U_e(x₀).

Рис.2.7 Открытый (а) и закрытый шары.

Точку пространства Eⁿ называют граничной точкоймножества EÌEⁿ, если в ее окрестности любого радиуса e>0 имеется хотя бы одна точка из E и хотя бы одна точка, не принадлежащая E (рис 2.8, б). Совокупность граничных точек множества образует его границу. Множество, включающее свою границу, называют замкнутым множеством.

Изолированная точка xÎE имеет окрестность, в которую не входят никакие другие точки множества E кроме самой точки x (рис. 2.8, в). Множество, содержащее только изолированные точки, называют дискретным множеством, и она обязательно бывает либо конечным, либо счетным.

Крайняя точкане может находиться на отрезке, соединяющем какие- либо две точки x₁,x₂ из E (рис. 2.8, г). Крайняя точка является одновременно и граничной, но обратное утверждение неверно.

Окрестностью произвольной точки x₀ÎEⁿ называется любое множество ОÌ Eⁿ,

Рис.2.8. К понятию внутренняя (а), крайняя (б), изолированная (в), крайняя (г) точки.

содержащее открытый шар U_e(x₀),e>0. Окрестность О является множеством всех таких x, расстояние которых от x₀ меньше некоторой малой положительной величины d. В частности, О может быть задано неравенством |x_j-x_оj| < d, где x_j- координаты xÎ0; x_0j- координаты x₀ (j=1:n); d- некоторое положительное число (рис 2.9).

Рис.2.9. К понятию окрестности.

Любое подмножество Н множества Eⁿ является ограниченным, если оно содержится в каком либо замкнутом шаре Ū _e(x₀). В этом случае диаметром множества Н называется точная верхняя граница расстояний между принадлежащими ему точками.

Замкнутое и ограниченное множество называют компактным множеством иликомпактом. Примеры компактов: конечное множество точек в Eⁿ; замкнутый шар, т.е. множества вида

{xÎEⁿ| ρ(x,x₀) £e}.

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.