Под множествомобычно понимают некоторый набор (совокупность) элементов произвольной природы. Например, совокупность короткозамкнутых асинхронных двигателей серии 4A, набор сопротивлений и т.д. Множества вещественных, натуральных и целых чисел являются примером числовых множеств.
Каждый из таких элементов в отдельности есть элемент множества. Фразу «е является элементом множества Е» («е принадлежит множеству Е») записывают, кратко в виде еÎЕ. Если е не принадлежит множеству Е, то пишут е ÏЕ.
Пусть a, b, c...-элементы множества E. Используя фигурные или круглые скобки можно записать
E={a, b, c,...}=(a, b, c,...).
Если элементы множества E суть все целые числа от k до l (k<l), то для обозначения e можно использовать более простую запись:
e={k, k+1,...,e–1,e}=k:e.
Например, множество натуральных чисел от 1 до n можно записать так:
{1, 2, ..., n}=1:n.
Элементы множества могут быть пронумерованы или каждому элементу множества может быть прописан некоторый индекс, причем так, что все элементы имеют разные индексы. Например, E={e1, e2, ...,en}. Используя обозначение 1:n, множество E запишем в виде:
E=e[1:n],
где ei=e[i] - элемент множества E.
Если множество E состоит из элементов e, обладающих определенным свойством P(e), то пишут E={e/ P(e)}. Например (0, 1] = {e/0< x £1}. Для указания множества E1, элементы e которого принадлежат E2 и, кроме того, обладают свойством P(e), используют обозначение:
E1={eÎE2P(e)}.
Множество можно изобразить кругом Эйлера - считать его множеством точек, ограниченных окружностью: на рис 2.1 показано включение eÎE.
Множество Ē представляет собой некоторое подмножество множества E (Ē Í E), если каждый элемент e, принадлежащий Ē, одновременно принадлежит и E. (рис.2.2.). В случае, когда Ē не содержит ни одного элемента (т.е. является пустым множеством, Ē =Ø), оно может рассматриваться как подмножество любого множества. Ē является истинным или собственным подмножеством E при условиях Ē ¹ Ø, Ē ¹E (обозначается Ē ÌE).
Знаки «Ì », «Í » называют знаками включения (соответственно строго и не строго) одного множества в другое. Равенство E1=E2 имеет место тогда и только тогда, когда одновременно E1<E2 и E2<E1, т.е. состоят из одних и тех же элементов.
Пересечение множеств E1 и E2 (E1ÇE2) есть множество всех элементов e, содержащихся в E1 и в E2 (рис 2.3, а). Множества E1 и E2 являются непересекающимися, если E1ÇE2= Ø. Например, множества малых и больших ЭВМ вычислительного центра.
Операция пересечения множеств обладает сведущими свойствами:
10) E1ÇE2=E2ÇE1,
20) (E1ÇE2)ÇE3=E1Ç(E2ÇE3),
30) E1ÇE1=E1; E1Ç Ø = Ø,
где E1,E2,E3 - произвольные множества.
Объединение множеств E1 и E2 (E1ÈE2) есть множество всех элементов e, содержащихся либо в E1, либо в E2, либо и в E1 и в E2 (рис 2.3, б), т.е. в объединении находятся элементы, принадлежащие E1, E2 и обоим множествам вместе. Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:
10) E1ÈE2=E2ÈE1,
20) (E1ÈE2)ÈE3=E1È(E2ÈE3),
30) E1ÈE1=E1 ; E1È Ø =E1.
Разностьюмножеств E1 и E2 называют множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству E1, но не принадлежат множеству E2 (E1\E2) т.е. совокупность всех eÎE1, таких что eÎE2 (рис 2.3, в).
Если E2 - одноэлементное множество, т.е. E2={e}, то E1\{e} будем записывать и проще: E1–e. Число элементов во множестве E1 (обозначается |E1|=e) называется мощностьюконечного множества. Для бесконечного множества E2 мощность считается равной бесконечности (|E2|= ∞).
Отношением, существующем на множестве E, называется форма связи между элементами или подмножествами этого множества. Отношения определяются словами («быть меньше, чем ...», «обладать свойствами делимости на ...», «быть одинаковым с ...») или символами(«=», «< », «Ç»).
Важнейшую роль играет отношение «быть функцией». Говорят, что на множестве E задана функция f со значениями во множестве Э, если каждому элементу eÎE сопоставлен элемент эÎЭ (обозначается э=f(e)). Если при этом из e1¹e2 следует f(e1)¹f(e2) и каждый эÎЭ является образом некоторого eÎE, то между E и Э существует взаимно однозначное соответствие. В случае, когда Э есть множество действительных чисел, т.е. чисел, используемых в практических расчетах и измерениях, то функция э= f(e) называется скалярной. Часто E является множеством каких- либо функцией, тогда э называют функционалом.
Два множества имеют одинаковую мощность тогда, когда можно установить взаимно однозначное соответствие между их элементами. Множество E является бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собственных подмножеств (в противном случае Eконечно). Мощность конечного множества определяется числом его элементов.
Бесконечное множество E называют счетным, т.е. допускающим принципиальную возможность пересчитать его элементы, если устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами E и элементами множества натуральных чисел.
Числовое множество E называется упорядоченным, если любые два его элемента e1,e2 связаны либо отношением e1< e2, либо отношением e1 > e2(например, множество всех действительных чисел). В этих условиях ê называется верхней границей множества E, если ê ³e для всех eÎE. Наименьшей из имеющихся ê называется точной верхней границей (супремум) sup E. Аналогично определяют нижнюю и точную нижнюю границу множеств (инфимум) inf E. Когда Ē <E неограниченно сверху sup Ē = ¥, снизу inf Ē = - ¥.
Пример: принципиально достижимое и реально достигнутое быстродействие ЭВМ при существующем уровне развития техники (второе оказывается точной границей).
