Требования к математическим моделям.

Виды описания проектируемых объектов и классификация их параметров

Методы оптимизации технических объектов

Раздел № 3

Оптимизация– создание лучших объектов.

Математическая модель объекта (ММО) – это система математических объектов (чисел, переменных, матриц) и отношений между ними, выражающихся в уравнениях, неравенствах и т.п., описывающих свойства технического объекта.

Среди свойств объекта различают свойства системы, элементов системы и внешней среды. Соответственно они находят своё количественное выражение в выходных, внешних и внутренних параметрах объекта.

Внутренние параметры – параметры электрической системы.

Y = F(X; Q)

F = (f₁; f₂;…; f_n)

y₁ = f₁(x₁, x₂,…, x_n; q₁, q₂,…,q_n)

y₂ = f₂(X; Q)

………………………………….

y_n = f_n (X; Q)

Переменные, описывающие состояние объекта, называют фазовыми переменными.

Уравнение для фазовых переменных: φ(z, z’,z’’,…,zⁿ) = V,

Большинство выходных параметров являются функционалами, т.е. для их определения необходимо при заданных X и Q решать систему уравнений и по полученным величинам вычислить выходные параметры Y.

Техническое задание включает в себя технические требования к выходным параметрам. Вся совокупность технических требований образует вектор технических требований (Т.Т.)

Он включает в себя:

ТТ = (ТТ₁; ТТ₂;…; ТТ_n)

Соотношение между соответствующими выходными параметрами и техническими требованиями называют условиями работоспособности.

y_i < TТ_i

y_i > TТ_j

TT`_k < y_k < TT"_k

1) Универсальность– характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

2) Точность– характеризует степень совпадения параметров реального объекта и их расчётных значений по математической модели.

y_{j мат. мод.} - y_j

ε= у_j ; ε = (ε₁; ε₂;…; ε_n)

ε – относительная погрешность.

ε_max = ||ε|| = max ε_j;

||ε|| =√ ε₁²+ ε₂²+…+ ε_n²

3) Адекватность- это способность математических моделей отображать заданные свойства объекта, с погрешностью не выше требуемой.

Адекватность модели, как правило, имеет место в ограниченной области изменения внешних и внутренних параметров, называемой областью адекватности (ОА)

Область адекватности – множество значений, внешних и внутренних параметров, для которых погрешность вычисления выходных параметров не превосходит заданную величину δ>0.

ОА = {Q; X}; ε_max ≤ δ

4) Экономичность математической модели – характеризуется затратами вычислительных ресурсов ЭВМ на её реализацию.

Часто экономичность оценивают по порядку системы уравнений или количеству арифметических операций, необходимых для решения - эти оценки не зависят от типа ЭВМ.

Требования высокой точности, универсальности и широкой области адекватности противоречат требованию экономичности. В каждом конкретном случае приходится выбирать оптимальное, компромиссное решение. Поэтому в системах автоматизированного проектирования (САПР) используются модели различных степеней точности, универсальности, адекватности и экономичности.