Условные экстремумы

Безусловные экстремумы

Основные определения

Критерий оптимальности – это правило, согласно которому выбирается наилучший вариант из некоторого множества.

Будем рассматривать объекты, имеющие неизменную структуру и различающиеся численными значениями внутренних и внешних параметров. В основе построения правильного предпочтения лежит целевая функция, -качества»

F(X); (X€X0)

X= (X₁, X₂,…X_n) – вектор управляемых параметров.

Если значение целевой функции тем больше, чем выше качество объекта, то оптимизация есть максимизацияцелевой функции

max F(X); X€X0

В противном случае оптимизация есть минимизация целевой функции.

min F(X);

Если область определения Х0 есть дискретное множество точек, то объект – дискретныйи имеет задачу дискретного( в частном случае) целочисленного программирования.В противном случае – это задача параметрической оптимизации непрерывных объектов.

Переход от задачи максимизациик задаче минимизациии наоборот осуществляются сменой знака целевой функции.

ε – окрестностью некоторой точки Х₀ будем называть множество точек S_ε(X₀), которые находятся от Х₀ на расстоянии не превышающем заданное число ε > 0.

S_ε(X₀) = {X| ||X – X₀|| ≤ ε}

||X – X₀|| - Норма вектора, отождествляемая с расстояния между точками Хи Х₀

Максимумом целевой функции F(X) называют её значение F(X`), если существует число ε > 0 такое, что для любой точки Х€ S<sub>ε</sub>(Х`) за исключением самой точки Х`.

Выполняется неравенство F(X) – F(X`)<0 – условие максимума.

Аналогично минимумомфункции F(X) называют её значение F(X`), если выполняется условие:

F(X) – F(X`) >0.

Точку Х` называют экстремальной точкой. В точке глобального экстремума максимизируемая (минимизируемая) целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение среди всех локальных экстремумов.

Задачи, в которых отсутствуют ограничения на области управляемых параметров, относятся к задачам безусловной оптимизации.

При наличии ограничений на область изменения управляемых параметров имеем задачу условной оптимизации.

1) Прямые ограничения Х_i > X_{i min} ; Xj< X_{j max} и т.д.

Область допустимых параметров ХД= { X € X₀ | X_i > X_{i min}; X_j < X_jmax} при наличии прямых ограничений.

2) Функциональные ограничения- имеют вид неравенств (равенств)

а) ограничения-неравенства φ(Х)>0, φ=( φ₁, φ₂,…, φ_n)

б) ограничения-равенства Ψ(Х)=0, Ψ=( Ψ₁, Ψ₂,…, Ψ_n)

В задачах проектирования роль ограничения часто выполняют условия работоспособности.

XP={X€XД | φ(x) > 0; ψ(x) = 0}