Линейные математические модели

Наиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Они задаются в виде линейной формы управляющих переменных (х):

W = a₀ + a₁x₁ + … + a_kx_k

при линейных ограничениях вида

b_1j x₁ + b_2j x₂ + … + b_kj x_k ³ b_j , j = 1,…, q₁;

c_1j x₁ + c_2j x₂ + … + c_kj x_k = c_j , j = 1,…, q₂;

d_1j x₁ + d_2j x₂ + … + d_kj x_k £ d_j , j = 1,…, q₃.

Общее число ограничений m = q₁ + q₂ + q₃ может превосходить число переменных (m > k). Кроме того, обычно вводится условие положительности переменных (x_i ³ 0).

Поверхность отклика для линейной модели представляет собой гиперплоскость. Например, рассмотрим линейную модель двух переменных следующего вида:

W = –2x₁ –3x₂ (2.2)

при следующих ограничениях

x₁ – 4x₂ £ 4;

–2x₁ + x₂ £ 2;

х₁ ³ 0; x₂ ³ 0.

и, следовательно, имеет наименьшее значение при . Для этого необходимо показать, что вторая производная от S(b) на интересующем нас отрезке не превышает нуля.

Вторая производная от функции (2.6) имеет вид

.

Покажем, что она не превышает нуля:

.

Разделив обе части неравенства на 2R и умножив на корень квадратный (это можно сделать, не нарушив неравенства, так как R > 0, а корень квадратный представляет собой длину отрезка, т. е. тоже больше нуля), получим

.

Возведя обе части в квадрат (на рассматриваемом отрезке sin(b) > 0) и произведя некоторые преобразования, получим

.

В левой части неравенства cos²(b) можно заменить его минимальным значением, т.е. нулем, а в правой части – максимальным значением, т.е. единицей. Тогда получим

0 ³ 4pR – 4R² или p ³ R.

Но p действительно больше R (см. рис. 2.5).

Таким образом, аналитическую модель пути (формула (2.6)) мы использовали для доказательства того, что при b = p/2 – a путь является кратчайшим. Зная это, можно определить координаты опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ при любых значениях величин p и R:

А(–р/2, 0); Е₁(–Rsin(a), Rcos(a)); F₁(Rsin(a), Rcos(a)); B(p/2, 0),

где a = .