Построение математической модели сверления лазером

Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа

Простейшие аналитические модели могут быть заданы явно в виде функции одной или нескольких переменных.

Обычно в виде функций задаются общие законы природы или общие закономерности, полученные в результате интегрирования дифференциальных уравнений. Примером такой модели может служить знаменитая формула К.Э. Циолковского:

,

определяющая приращение скорости ракеты при импульсном сжигании топлива через скорость истечения рабочего тела v и отношение начальной М₀ и конечной M_к масс ракеты.

Модель, заданная в явном виде, дает исчерпывающее описание исследуемого объекта. Она позволяет построить зависимость его характеристик от управляющих факторов, взять производные и найти экстремумы модели, определить характеристики модели в окрестности экстремумов и т.д.

Очень удобна графическая интерпретация таких моделей. Однако модели в виде формул могут быть разработаны только для очень простых объектов.

Примером аналитической теоретической модели может служить модель, описывающая глубину отверстия при лазерном сверлении.

Резание и сверление металлов весьма важно для многих областей техники. Значительный интерес представляет создание новых устройств, предназначенных для специальных материалов, а также для тех случаев, когда желательно обеспечить некоторую степень автоматизации указанных процессов. В последнее время для этого были предприняты попытки использования мощных лазеров.

Основная идея состоит в том, чтобы сфокусировать значительную мощность на малой площади поверхности материала, создавая таким образом интенсивный нагрев и испарение с последующим образованием отверстия. При сверлении необходимо постараться обеспечить такие условия процесса, чтобы проделанное отверстие прямо проходило сквозь материал, и избежать, таким образом, затекания расплавленного металла обратно в отверстие и застывания его там.

Построим математическую модель, главная применимость которой – глубокое сверление. При помощи модели попытаемся ответить на вопрос, как быстро можно проделать отверстие, используя пучок излучения высокой мощности, и на какую глубину.

Рассмотрим высокоэнергетический пучок лазерного излучения, сфокусированный на малом участке поверхности металла (Рис. 2.1). Определенная доля энергии поглощается, а остальная часть отражается. Поглощение энергии происходит внутри слоя, толщина которого много меньше миллиметра, вызывает поверхностный нагрев материала и рост температуры поверхности. Температура растет не безгранично. Существует два процесса, ограничивающие рост температуры:

- перенос тепла в глубь материала от нагретых к холодным участкам, обусловленный теплопроводностью;

- испарение. Когда температура материала достигает точки кипения, скрытое тепло поглощается без дальнейшего увеличения температуры в процессе испарения материала.

При удалении пара от поверхности материала в металле образуется выемка.

Задача количественного описания этого процесса и вызывает необходимость математического моделирования.

Будем рассматривать модель, описывающую процесс разрушения материала, при котором вся энергия лазерного излучения используется только для испарения материала.

Этот предельный режим испарения может возникать двумя путями:

- когда энергия поступает на поверхность слишком быстро, так что тепло не успевает распространиться в глубь металла;

- плотность мощности пучка постоянна, а распределение температуры впереди границы области испарения приближается к стационарному.

Предположим, что мощность W распределена по некоторой площади А поверхности; излучение приложено по нормали к поверхности (см. рис. 2.1). За интервал времени Dt поступает энергия W×Dt. Пусть глубина возникающей выемки равна DS, тогда объем испарившегося материала равен A×DS. Используя закон сохранения энергии, получим

h×r×A×DS = W×Dt,

где h – количество тепла, требуемое для испарения единицы массы материала; r – плотность материала.

Преобразуем это выражение и положим Dt ® 0, получим скорость роста глубины выемки:

.

Это уравнение показывает, что для любого материала предельная скорость пропорциональна плотности энерговыделения W/A. Интегрируя это уравнение и полагая S = 0 при t = 0, найдем глубину выемки в произвольный момент времени t:

(2.1)

или

,

где E(t) – полная энергия, выделенная источником за промежуток времени (0, t).

Таким образом, в предельном режиме испарения глубина выемки зависит только от полной энергии, поступившей на поверхность. Формула (2.1) представляет собой теоретическую аналитически-разрешимую динамическую детерминированную модель.

На практике всегда существует перенос некоторого количества тепла в материал за счет теплопроводности. Общая задача движения границы раздела фаз с учетом теплопроводности известна как задача Стефана. Ее решение представляет определенные математические трудности.