Решение

1)

2) Т.к. приращение функции двух переменных

приближенно равно дифференциалу этой функции при и : ,

то .

Т.е. .

Имеем ; ; ;

; ; ; ; . Итак, приближенные значения функции в точке

.

3) Найдем относительную погрешность при замене на :

4) Т.к. уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид ;

то имеем или

Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области , заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.

Решение. Найдем стационарные точки функции внутри области , решая систему . Имеем, , , тогда решение системы есть точка . Но она не входит в область .

Исследуем теперь поведение функции на границе области . Найдем сначала стационарные точки функции внутри отрезков границы области.

а) Уравнение стороны прямоугольника: .

На стороне функция .

Найдем стационарные точки внутри отрезка

при

б) Уравнение стороны : .

На стороне прямоугольника функция .

, т.е. стационарных точек нет.

в) Уравнение стороны : .

На стороне прямоугольника функция .

при , т.е. внутри отрезка стационарных точек нет.

г) Уравнение стороны : .

На стороне функция , , т.е. стационарных точек нет.

Итак, функция не имеет стационарных точек ни внутри области , ни внутри отрезков границы области .

Найдем значения функции в вершинах прямоугольника и выберем среди них наименьшее и наибольшее.

.

Итак, ,

Задача 14. Даны функция , точка и вектор . Найти:

1) в точке ;

2) производную в точке по направлению вектора .