Нахождение общего решения дифференциального уравнения, раскрывающего зависимость спроса и предложения товара от цены.
1. Q(p)= q0 – q1p(t) - зависимость спроса от цены
S(p)= s0 – s1 p(t) - зависимость предложения от цены
q0 =10, q1 =2, Q(p)= 10-2p(t)
s0 = -4, s1=4, S(p)=-4+4p(t)
Начальная цена: p(0)= p0=2
Дифференциальное уравнение зависимости цены от времени:
2. 
к(Q(p(t))- S(p(t)) ) (1), к=0,5
Подставляя численные данные, получаем:
(10-2р+4-4р),
(14-6р),
=7-3р; -7+3р=0. (2).
Начальные условия p(0)=2 (3).
Имеем задачу линейного неоднородного дифференциального уравнения Коши для первого порядка.
3. Найдём решение (2) в виде:
р=uv; р´=u´v+ u v´, т.е. 
; (4)
Подставляем (4) в (2)
+3 uv-7=0;
-7=0
4. Полагаем 
, тогда 
5. Решаем (5) 
=-3и; 
; 
;
, ln│u│=-3t+ln C.
Полагаем, что С=1, тогда ln 1=0 и ln│u│=-3t, и=е- 3 t (7)
6. Подставляя (7) в (6) получим е- 3 t -7=0; => е- 3 t =7;
=7 е 3 t ; => 
, проинтегрируем обе части уравнения,
, получим v=7* 
e3t+C или v= 
e3t+C (8)
7. Подставляя (7) и (8) в р=uv, получаем:
р= е- 3 t ( 
e3t+C), р= 
е- 3 t e3 t + С е- 3 t,
р= е0 + С е- 3 t, р= + С е- 3 t
Найдём С, используя начальное условие p(0)=2 .
2 = + С е0, 2- =С; - 
=С.
p(t)= - 
е- 3 t.
8. Найдём равновесную цену р*:
Q(p*) = S(p*); 10-2р*=-4+4 р*; 14=6р*, р*=2 .
Решение можно записать в виде
p(t)= р* - е- 3 t (*)
Примечание р0 - р*=2- = - ,
Следовательно (*) имеет вид:
p(t)= р*+ (р0 - р*) е- 3 t.
Приложения
Таблица производных
Таблица интегралов
