Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравненийпервого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде F(x,y,y¢) = 0. Здесь x ‑ независимая переменная, y ‑ её неизвестная функция, ‑ производная функции y, F ‑ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y¢.

Решением дифференциального уравнения (ДУ) называется такая функция y = j(x), определенная на некотором промежутке (x₁, x₂), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) полу­чается верное равенство на всем промежутке (x₁, x₂). Очевидно, что подстановка y = j(x) возможна только тогда, когда функция j(x) на промежутке (x₁, x₂) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x₁, x₂) точка с координатами x, y, y¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решенийдифференциального уравнения называется егообщим решением.