Определенный интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x₁, x₂, x₃, ¼, x_n-1, удовлетворяющие условию:
a< x₁,< x₂<¼< x_n-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x₁], [x₁;x₂], ¼ [x_n-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c₁Î[a;x₁], c₂Î[x₁;x₂], ¼ c_nÎ[x_n-1;b].

Введем обозначения:Dx₁ = x₁ – a; Dx₂ = x₂ – x₁; ¼ Dx_n = b – x_n-1.

Составим сумму:

.

Она называется интегральнойсуммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек c_i.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dx_i), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

от функции по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек c_i.

Число a называетсянижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегриро­вания.

Геометрический смысл определенного интеграла: численно определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции .

Перечислим свойства определенного интеграла:

1) (здесь k ‑ произвольное число);

2) ;

3) ;

4) Если cÎ[a;b], то .

Формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

,

которая называется формулойНьютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле: ,

а так же формулой интегрирования по частям в определенном интеграле: .