ПРОИЗВОДНАЯ

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx  приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента Dx соответствует беско­нечно малое приращение функции Df.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производнойфункции y = f(x)в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

.

Нахождение производной функции y = f(x)называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная  это скорость изменения функции в точкеx. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома.

Так функция y = êx ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

f(x)		f(x)		f(x)
C				cosx	-sinx
x		lnx	1/x	tgx	1/cos2x
xn	nxn-1	ax	axlna	arcsinх
	1/(2 )			arccosх	-
1/x	-1 / x2	sinx	cosx	arctgx	1/(1+x2)