Предел и непрерывность функции

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < êx – x₀ê < d, выполняется условие

êy – Aê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x₀, записывается формулой

.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функцииf(x)в точкеaсправа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать êB –f(x) ê < e.

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функцииf(x)в точкеbслева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать êC – f(x)ê < e.

Функция f(x) называется непрерывной в точкеa справа (непрерывной в точке b слева), если

( ).

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;