Системы линейных уравнений

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

. (1)

Здесь x₁, x₂, ¼, x_n – неизвестные величины, a_ij (i = 1,2, ¼, m;
j =1, 2, ¼, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b₁, b₂, ¼, b_m –числа, называемые свободными членами.

Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x₁, x₂, ¼, x_n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместнойинеопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b₁ = b₂ =¼= b_n = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Существует три способа решения СЛУ: 1) метод Крамера (метод определителей); 2) метод обратной матрицы (матричный метод); 3) метод Гаусса.