Пример. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.
если 
Решение. Естественно, что на интервалах 
и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки 
и 
.
Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.
Рассмотрим точку .
.
Вычислим односторонние пределы
,
.
Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.
Рассмотрим точку .
,
,
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.
Рис. 1
Пример.Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.
.
Решение. Область определения функции
. Точка разрыва 
.
Найдем односторонние пределы
; 
.
Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель 
, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 2.
Рис. 2
