Решение.

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции.

Теорема. Если при существуют пределы функций и , то:

;

;

, где ;

, где - постоянный множитель.

Так как , а ,

то по теореме о пределе частного получаем, что .

Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример. Вычислить

.

Решение. Наивысшая степень x - вторая, делим числитель и знаменатель на .

Получим , так как и .

Пример. Вычислить

.

Решение. Имеет место неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Получим .

Пример. Вычислить

.

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

.

Получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x - первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.

Пример. Вычислить .

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

.