Алгебраическое интерполирование

Начнем с рассмотрения задачи интерполяции в наиболее простом и хорошо исследованном случае интерполирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы (1) многочлен P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+… +a_nxⁿ степени n называется интерполяционным многочленом, если он удовлетворяет условиям (2):

P_n(x_i)=y_i, i= 0, 1, …, n. (7)

Равенства (7) можно записать в виде системы уравнений:

a₀+a₁x₀+a₂x₀²+… +a_nx₀ⁿ= y_0,

a₀+a₁x₁+a₂x₁²+… +a_nx₁ⁿ= y_1, (8)

_{……………………………………………….}

a₀+a₁x_n+a₂x_n²+… +a_nx_nⁿ= y_n

относительно коэффициентов многочлена. Эта система однозначно разрешима, так как система функций 1, x, x²,…,xⁿ линейно независима. Однозначная разрешимость системы следует и из того хорошо известного факта, что определитель этой системы - определитель Вандермонда:

1 x₀ x₀² … x₀ⁿ

1 x₁ x₁² … x₁ⁿ

D_n(x₀, x1_,…, x_n) = ………….…

1 x_n x_n² … x_nⁿ

отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (7). В курсе математического анализа доказывается теорема Вейерштрасса: если функция f непрерывна на конечном замкнутом отрезке [a,b], то для всякого e>0 существует многочлен P_m некоторой степени m, для которого при любых xÎ[a,b] выполняется неравенство |f(x)-P_m(x)|<e.

Иначе говоря, для любого конечного замкнутого отрезка семейство алгебраических многочленов является полным в классе непрерывных на этом отрезке функций. Этот факт позволяет ожидать, что при надлежащем выборе узлов и их числа n непрерывную на [a,b] функцию можно на этом отрезке интерполировать сколь угодно точно алгебраическим многочленом.

На практике система (8) редко используется для вычисления коэффициентов интерполяционного многочлена a_k, так как в большинстве приложений они просто не нужны. Кроме того, при n>4 система (8) становится плохо обусловленной. Существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются на практике.

41.Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

L_n(x_i) = l₀(x)*f(x₀) + l₁(x)*f(x₁) +…+ l_n(x)*f(x_n). l₀(x₀) = 1; l₀(x₁) = 0 l_i( ) =

l_i(x) = C*(x-x₀)(x-x₁)*…*(x- (x- )*…*(x-x_n); где С=const - находится из условия x = x_i.

l_i(x_i) = 1; l_i(x_i) = C(x_i – x₀)……(x_i – x_n) = 1; C =

l_i(x) = = - развернутая форма полинома Лагранжа. .