Погрешность алгебраического интерполирования.

Оценку погрешности интерполяции функции f(x) дифференцируемой n+1 раз на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции x_i (i= 0,1, n) удобно выполнить, используя выражение:

R _n(x)=½f(x)-P_n(x)½£[M _n+1/n+1!]w_n+1(x) (12)

как следствие из теореме о погрешности

Обратим внимание на одну из интерполяционных задач, связанных с построенными представлениями R_n. Пусть нужно выполнить интерполирование функции во всех точках отрезка [a,b]. Погрешность его зависит от выбора узлов x_i, точки х и свойств функции f. Если интерполируется одна определенная функция f, то точность интерполирования характеризуется величиной max½R_n(x)½. Когда мы интерполируем не одну функцию f, а некоторое множество функций f, то точность может быть оценена величиной sup max½R_n(x)½=m=m (x_0, x_{1, …,} x_n). (13)

Эта величина зависит только от выбора узлов х_i (i=0,1, …, n).

Поставим задачу о выборе узлов x_i, которые можно было бы считать наилучшими при интерполировании всех функций f на [a,b] из взятого множества. Такими узлами естественно считать те, для которых величина m(x_0, x_1,…,x _n) достигает наименьшего значения. Найдем такие узлы для множества всех функций с непрерывной производной порядка n+1 на [а,b]. Изменим на время эту задачу и рассмотрим функции f, для которых при некотором произвольно взятом положительном M выполняется неравенство

½f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)½£ M. (14)

Для таких функций погрешность R_n(x) может быть оценена следующим неравенством, которое сразу вытекает из (11):

max½R_n(x)½£ [M/(n+1!)]max½w(x)½.

Эта оценка является не улучшаемой, так как в ней имеет место знак равенства, когда f есть следующий многочлен степени n+1:

f=[M/(n+1)!](x ⁿ⁺¹+c₁xⁿ+…)

и, следовательно,

sup max½R_n(x)½=[M/(n+1)!]max½w(x)½. (15)

Первый множитель правой части (15) не зависит от выбора узлов х_i, и поэтому наилучшими узлами при интерполировании функций f, удовлетворяющих условию (14), нужно признать те х_i, для которых

max½w(x)½=min. (16)

Это заключение верно при всяких М в неравенстве (14). Можно поэтому утверждать, что такие узлы будут наилучшими при интерполировании всяких функций f с непрерывной производной порядка n+1 на [а,b].