Свойства норм матриц.

1) , причем ;

2) , где aÎR;

3) ;

Дополнительно верны следующие свойства:

4) ;

5) , здесь X – вектор.

Как и для векторов, для матриц можно определить понятие погрешности.

Определение.Пусть A* – точное значение матрицы, A ‑ приближенное значение. Абсолютная и относительная погрешность матрицы A*: , .

Пример: Пусть

.

;

;

.

13.)

Метод простых итераций, реализующийся в процессе последовательных приближений, сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении со скоростью не медленнее геометрической прогрессии, если какая-либо норма матрицы меньше единицы, т.е. .

1. Условие теоремы, как достаточное, предъявляет завышенные требования к матрице , и потому иногда сходимость будет, если даже .

2. Сходящийся процесс обладает свойством "самоисправляемости", т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как ошибочное приближение можно рассматривать, как новое начальное.

3. Условия сходимости выполняются, если в матрице диагональные элементы преобладают, т.е.

и хотя бы для одного неравенство строгое. Другими словами, модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении системы больше суммы модулей недиагональных коэффициентов (свободные члены не рассматриваются).

4. Чем меньше величина нормы , тем быстрее сходимость метода.

Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости метода простых итераций. Для сходимости метода простых итераций (10.12) при любых и необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы были по модулю меньше единицы, т.е. .

Преобразование системы к виду с матрицей , удовлетворяющей условиям сходимости, может быть выполнено несколькими способами. Алгоритм:

1. Уравнения, входящие в систему , переставляются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов (для той же цели можно использовать другие элементарные преобразования). Затем первое уравнение разрешается относительно , второе — относительно и т.д. При этом получается матрица с нулевыми диагональными элементами.

Выражая из первого уравнения, — из второго, а — из третьего, получаем систему вида

2. Уравнения преобразуются так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов, но при этом коэффициенты не обязательно равнялись нулю.

3. Если , систему следует умножить на матрицу , где — матрица с малыми по модулю элементами. Тогда получается система или , которую можно записать в форме , где . Если достаточно малы, условие сходимости выполняется.

В ме­то­де простой ите­ра­ции если а_ii  0, то ис­ход­ная сис­тема мо­жет быть пре­об­ра­зо­вана к виду х_i = b_i + a_ij х_j , i  j, т.е. из каждого уравнения по­­сле­до­ва­тельно вы­ра­жа­ют х_i.

Здесь b_i = F_i / а_ii; a_ij = - а_ij / а_ii.

Таким образом, в мат­рич­ном виде имеем Х = В+ AХ.

Полученную сис­­­­тему бу­дем решать методом по­сле­до­ва­тель­ных при­­ближений.

За ну­левое приближение Х⁽⁰⁾мож­но при­нять матрицу В:Х⁽⁰⁾= = B, и далее, под­ста­вив най­денные значения в исходную систему, по­лу­чим
Х ⁽¹⁾ = В + A Х⁽⁰⁾ .

При бесконечном повторении этой вы­чис­ли­тель­­ной схемы имеем

, где и будет искомое решение системы.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

14.)

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем: (основанны на использовании повторяющегося (циклического) процесса и позволяющие получить решение в результате последовательных приближений.)
Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение: