· В основания финансовой математики положено представление о том, что материальная стоимость, стоящая за любым денежным номиналом, не остается неизменной во времени. Формально это находит выражение в исходном математическом соотношении:1 доллар сегодня>1 доллара завтра. Для того чтобы остановить процесс инфляции, обеспечив сохранение (по стоимости) 1 доллара в будущем, мы должны в каждый сегодняшний момент времени инвестировать свободные от текущего потребления денежные номиналы в предпринимательские проекты, реализация которых завтра позволит нарастить материальные ценности и тем самым – компенсировать потребленные сегодня блага.
· Поскольку за денежными номиналами, относящимися к разным временным моментам времени, стоят разные стоимости, необходимо уметь пересчитывать номиналы, приводя их к одному моменту – к будущему или настоящему; выделяют два типа задач, связанных с указанными пересчетами: «Прямая задача» – пересчет «сегодняшних» номиналов в «завтрашние»; эта задача называется «задачей наращивания (мультиплицирования) стоимости»; «Обратная задача» – пересчет ожидаемых будущих («завтрашних») номиналов в «сегодняшние»; эта задача называется «задачей дисконтирования (приведения к настоящему моменту времени) стоимости»; тот и другой пересчет предполагает сохранение баланса стоимости (при изменении номиналов) во времени.
· Простейшей ситуацией для решения указанных двух задач является ситуация, предполагающая один временной интервал (от «сегодня» до «завтра») и две соответствующих денежных суммы – НС (настоящая, сегодняшняя стоимость) и БС (будущая, завтрашняя стоимость). Для пересчетов НС в БС и обратно применяют следующие формулы: БС = НС ∙ (1 + r); НС = ; Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем случае – n) и две денежные суммы – НС и БСn , то прямая и обратная задачи реализуются по следующим формулам:
БСn = НС ∙ М1(r,n); НС = БСn · M2(r, n);
где: М1(r, n) и М2(r, n) – табличные значения, соответственно, мультиплицирующего и дисконтирующего множителей.
· Денежный поток (ДП) – это последовательность денежных поступлений (платежей) в течение нескольких периодов, осуществляемых через равные интервалы времени: С1, С2, С3, … Сn.
В общем случае все Сt ("t = 1,2, … n) могут быть неравными друг другу и быть с разными знаками: если с «+», то это трактуется как поступление денег, если с «–», то это – выплаты денег. Различают две разновидности ДП: «постнумерандо» (пст) и «пренумерандо» (пре). Прямая задача для денежного потока «пст» – это оценка каждого из элементов ДП с позиции будущего и затем суммирование элементов ДП, пересчитанных на последний n–й момент времени (наращивание, мультиплицирование суммарной стоимости ДП):
∑ БСпст = Сt ∙ M1(r, n – t);
Символ ∑ БСпст называется «cуммарной будущей стоимостью денежного потока постнумерандо». Обратная задача ДП «пст» – это оценка каждого элемента ДП с позиции настоящего (дисконтирование, приведение суммарной стоимости ДП) и затем суммирование;
∑НСпст = Ct · M2(r, t);
Символ ∑ НСпст называется «суммарной настоящей стоимостью ДП постнумерандо». Если речь идет о денежном потоке «пренумерандо», то:
∑БСпре = (1 + r) ∙ ∑БСпст ;
∑НСпре = (1 + r) ∙ ∑НСпст ;
· Аннуитет – частный случай денежного потока; это – денежный поток, в котором денежные платежи (поступления) во всех периодах одинаковые (A). Для аннуитетов «постнумерандо» решают те же самые прямую и обратную задачи с помощью следующих формул:
∑БАпст = A · M3(r, n);
∑НАпст = A · M4(r, n);
М3(r, n) и М4(r, n) – табличные значения, соответственно, мультиплицирующего и дисконтирующего множителей, рассчитанных для работы с аннуитетами. Для аннуитетов «пренумерандо»:
∑БАпре = (1 + r) ∙ ∑БАпст ;
∑НАпре = (1 + r) ∙ ∑НАпст ;
Бессрочный аннуитет – это такой денежный поток, у которого не только все элементы равны между собой, но и не фиксирован срок окончания его действия (t → ∞). Для такого аннуитета суммарная будущая стоимость ∑БА∞ не имеет содержательного смысла (уходит в бесконечность). Суммарная же настоящая стоимость может быть посчитана по формуле: ∑НА∞ = ;
Составной аннуитет возникает тогда, когда элементы аннуитета с определенного момента времени скачкообразно меняются (увеличиваются или уменьшаются). Если принять в качестве n – число элементов А1, и m – число элементов А2, тогда расчет можно сделать так:
· Финансовые таблицы – это инструмент для пересчетов денежных номиналов, отстоящих друг от друга на один или несколько временных интервалов. Финансовые таблицы основаны на принципе временной ценности денег. Дисконтирующие множители обозначены символами М2(r, n) и М4(r, n); мультиплицирующие множители – М1(r, n) и М3(r, n). Поскольку дисконтирование – главный процесс для ФМ, соответствующие этому процессу множители помещены в таблицы 1 и 2, мультиплицирующие множители (с которыми в основном работают коммерческие банки при начислении процентов по вкладам и депозитам) – в таблицы 3 и 4. Таблицы устроены однотипно: по столбцам расположены процентные ставки r(требуемые уровни доходности в процентах) – от 1% до 36%. По строкам расположены периоды времени – n (на которые требуется сделать «сдвижку» денежных номиналов) – их в стандартных таблицах от 1 до 55. Величины rи n называются параметрами соответствующих четырех множителей М. На пересечении конкретного столбца и конкретной строки расположено количественное значение соответствующего множителя. В практических расчетах нередко приходится использовать ставки с дробными значениями. В этом случае осуществляют процедуру интерполяции.
; Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем случае – n) и две денежные суммы – НС и БСn , то прямая и обратная задачи реализуются по следующим формулам:
Сt ∙ M1(r, n – t);
;