Аннуитет – частный случай денежного потока; это – денежный поток, в котором денежные платежи (поступления) во всех периодах одинаковые (A) (см. рис. 22 и 23):
Аннуитет – чрезвычайно распространенный в финансовой практике вид денежного потока. Его примерами могут служить ежемесячные выплаты зарплаты в виде окладов, получение ежегодных фиксированных дивидендов владельцем привилегированной акции или ежепериодные выплаты инвестору купонного дохода по облигации.
Для аннуитетов решают те же самые прямую и обратную задачи. Содержательный смысл их тот же, что и для денежных потоков общего вида.
Для аннуитета постнумерандо суммарная будущая стоимость ∑БАпст будет равна:
∑БАпст = А ∙ (1 + r)n─ t; (18)
Поскольку выражение под знаком суммы в формуле (18) зависит только от двух формальных параметров, его значения тоже табулировали. Соответственно, табличные значения мультиплицирующих множителей для аннуитетов постнумерандо М3(r, n) можно найти в Приложении, см. таблицу 4. C использованием данных множителей формулу (18) можно эквивалентно переписать следующим образом: ∑БАпст = A · M3(r, n), (19)
где: r – требуемая доходность инвестора (процентная ставка наращивания стоимости элементов аннуитета);
n – количество элементов аннуитета.
Аналогично рассчитывается суммарная настоящая стоимость аннуитета постнумерандо:
∑НАпст = А ∙ (1 + r) -t; (20)
Выражение под знаком суммы в формуле (20) также табулировано (см. таблицу 2 из Приложения). Дисконтирующие множители этой таблицы будем обозначать М4(r, n). С использованием этих множителей формулу (20) можно эквивалентно переписать следующим образом:
∑НАпст = A · M4(r, n), (21)
где: r – требуемая доходность инвестора, компенсирующая инфляционное обесценение элементов аннуитета;
n – количество элементов в аннуитете.
Для аннуитетов пренумерандо применяются те же процедуры, что и для соответствующих денежных потоков общего вида (см. формулы 15 и 17):
∑БАпре = (1 + r) ∙ ∑БАпст ; (22)
∑НАпре = (1 + r) ∙ ∑НАпст ; (23)
Существует 2 частных случая аннуитетов:
а) бессрочный аннуитет (перпетуитет);
б) составной аннуитет.
Бессрочный аннуитет – это такой денежный поток, у которого не только все элементы равны между собой, но и не фиксирован срок окончания его действия (t → ∞). В финансовой практике достаточно часто используются финансовые инструменты, имеющие форму бессрочного аннуитета. Самый распространенный случай подобного рода – привилегированная акция, которая выпускается на неограниченный срок своего действия. Графическая модель такого инструмента приведена на рис. 24 (где ДФ – дивиденд фиксированный):
Для такого аннуитета суммарная будущая стоимость ∑БА∞ не имеет содержательного смысла (уходит в бесконечность). Суммарная же настоящая стоимость ∑НА∞ может быть легко посчитана по формуле:
∑НА∞ = , (24)
где: А – величина элемента аннуитета;
r – ставка требуемой доходности инвестора.
Данная формула получается за счет следующих эквивалентных преобразований. Суммарная настоящая стоимость ∑НА∞ может быть изначально представлена так (см. принцип дисконтирования на рис. 19 и в формуле 12):
∑НА∞ = + + + … + ; (25)
Перепишем формулу (25) для первых n членов следующим образом:
∑НАn = + + + … + ; (26)
или: ∑НАn = ДФ · { + + + … + }; (27)
Умножим обе части уравнения (27) на (1 + r):
∑НАn · (1+r) = ДФ · {1+ + … + }; (28)
Вычтем (27) из (28) и получим:
∑НАn · (1 + r -1) = ДФ · {1 - }; (29)
Поскольку при n → ∞, → 0, получим r ·∑НА∞ = ДФ. Отсюда получаем формулу:
∑НА∞ = ; (30)
При А = ДФ формулы (24) и (30) эквивалентны. Что и требовалось.
Составной аннуитет возникает тогда, когда элементы аннуитета с определенного момента времени скачкообразно меняются (увеличиваются или уменьшаются) (см. рис. 25):
А2 А2 А2 А2
А1 А1 А1
0 1 2 3 4 5 6 7 t
Рис. 25. Графическая модель составного аннуитета
«постнумерандо»
Чтобы посчитать суммарную будущую стоимость составного аннуитета ∑БА1+2, необходимо начинать со «сдвижки» элементов А2. Это мы можем сделать сразу, умножив А2 на М3(r, 4), где: 4 – количество элементов второго аннуитета. Что касается элементов А1, то мы их имеем право «сдвинуть» с помощью множителей М3(r, 3) только на три (в данном конкретном примере) шага, т.е. только до момента времени, равного 3 (или до условного начала второго аннуитета). Нам же нужно пересчитать все элементы на конец седьмого периода. Поэтому величину А1 · М3(r, 3) необходимо умножить еще на М1(r, 4). Последняя корректировка на М1(r, 4) обусловлена тем, что с третьего до седьмого моментов времени будем сдвигать уже не элементы аннуитета, а единичную величину А1 · М3(r, 3), условно равную X. Для этого же применяются множители М1 (см. формулу 8). После этого оба результата суммируются. Cказанное выше можно графически представить так (см. рис. 26).
Если принять в качестве n – число элементов А1, соответственно, m – число элементов А2, тогда в общем виде расчет может быть сделан по следующей формуле:
Для расчета суммарной настоящей стоимости составного аннуитета нужно проделать те же процедуры, только в обратном порядке и с использованием множителей М4(r, n), М4(r, m) и М2(r, n) (см. рис. 27). А2 А2 А2 А2
А1 А1 А1
t
0 1 2 3 4 5 6 7
∑ A1· M4(r,n) 0 1 2 3 4
Y · M2(r, 3) A2 ∙ M4(r, 4) = Y
Формула для данного расчета выглядит следующим образом:
А А А А A A A
(1 + r)n ─ t; (18)
, (24)
+ 
+ 
+ … + 
; (25)
; (26)
+ 
+ 
+ … + 
}; (27)
}; (28)
; (30)
А2 А2 А2 А2
А2 А2 А2 А2
Для расчета суммарной настоящей стоимости составного аннуитета нужно проделать те же процедуры, только в обратном порядке и с использованием множителей М4(r, n), М4(r, m) и М2(r, n) (см. рис. 27). А2 А2 А2 А2