Одноканальная СМО с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.
Если на одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью l, а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием и коэффициентом вариации nm, то среднее число заявок в очереди равно:
, (30)
а среднее число заявок в системе
, (31)
где, как и ранее , а nm - отношение среднеквадратического отклонения времени обслуживания к его математическому ожиданию. Формулы (30, 31) носят название формул Полячека – Хинчина.
Деля LОЧ и LСИСТ на l, получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе:
, (32)
. (33)
Заметим, что в частном случае, когда время обслуживания – показательное, nm = 1 и формулы 30, 31 превращаются в уже знакомые формулы для простейшей одноканальной СМО (19, 23).
Рассматривается одноканальная СМО с неограниченной очередью, на которую поступает произвольный рекуррентный поток заявок с интенсивностью l и коэффициентом вариации nl интервалов между заявками, заключенных между нулем и единицей. Время обслуживания Tоб также имеет произвольное распределение со средним значением и коэффициентом вариации nm, тоже заключенным между нулем и единицей. Для этого случая точных аналитических формул получить не удается, можно только приближенно оценить среднюю длину очереди, ограничить ее сверху и снизу.
Доказано, что в этом случае
(34)
Если входящий поток – простейший, то обе оценки – верхняя и нижняя – совпадают, и получается формула Полячека-Хинчина (30). Для грубо приближенной оценки средней длины очереди М.А.Файнбергом получена простая формула:
.
Среднее число заявок в системе получается из LОЧ простым прибавлением r - среднего числа обслуживаемых заявок:
.
Что касается средних времен пребывания заявки в очереди и в системе, то они вычисляются через LОЧ и LСИСТ по формуле Литтла делением на l.
Таким образом, характеристики одноканальных СМО с неограниченной очередью могут быть (если не точно, то приближенно) найдены и в случаях, когда потоки заявок и обслуживаний не являются простейшими.
Возникает естественный вопрос: а как же обстоят дело с многоканальными немарковскими СМО?
Точных аналитических методов для таких систем не существует. Единственное, что всегда можно найти, это среднее число занятых каналов . Что касается LОЧ, LСИСТ, WОЧ, WСИСТ, то для них таких общих формул написать не удается.
Правда, если каналов действительно мало (4-5 или больше), то непоказательное время обслуживания не так важно: был бы поток простейшим. Действительно, общий поток «освобождений» каналов складывается из потоков освобождений отдельных каналов, а в результате такого наложения («суперпозиции») получается, поток, близкий к простейшему. Так что в этом случае замена непоказательного распределения времени обслуживания показательным приводит к сравнительно малым ошибкам. Обычно входной поток заявок во многих задачах практически близок к простейшему.
Значительно хуже, если входной поток заведомо не простейший. В этом случае необходимо подобрать две одноканальные СМО, из которых одна по своей эффективности заведомо «лучше» данной многоканальной, а другая – заведомо «хуже» (очередь больше, время ожидания больше). Таким образом, получая характеристики одноканальной СМО на основе известных, рассмотренных нами, способов, можно получить «оптимистические» и «пессимистические» оценки характеристик эффективности рассматриваемой СМО.