N-канальная СМО с отказами, с простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.

Более сложные задачи теории массового обслуживания

N-канальная СМО с неограниченной очередью

Аналогично предыдущей задаче, решается задача об n-канальной СМО с неограниченной очередью. Нумерация состояний – опять по числу заявок, находящихся в системе:

- S₀ – в СМО нет ни одной заявки (все каналы свободны);

- S₁ – занят один канал, остальные свободны;

- S₂ – занято два канала заняты, остальные свободны;

…

- S_k – занято k каналов, остальные свободны;

…

- S_n – заняты все n каналов (очереди нет);

- S_n+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

…

- S_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди;

…

Условие существования финальных вероятностей: , в противном случае, очередь растет до бесконечности.

Применяя формулы для схемы гибели и размножения, найдем финальные вероятности:

, (25)

, , . (26)

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего найти среднее число занятых каналов (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в очереди L_ОЧ:

. (27)

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же – среднее число занятых каналов), получим:

. (28)

Деля выражения L_ОЧ и L_СИСТ на l, по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявок в очереди и в системе:

, . (29)

Здесь мы рассмотрим вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До этого все формулы выводились на основе схемы гибели и размножения, формулы Литтла и дифференцирования.

До сих пор рассматривались только простейшие СМО, для которых все потоки событий, перевод их из состояния в состояние, были простейшими. Для немарковских СМО существуют только отдельные, считанные результаты, позволяющие выразить в явном, аналитическом виде характеристики СМО через заданные условия задачи – число каналов, характер потока заявок, распределения времен обслуживания. Рассмотрим некоторые результаты.

Формулы 11 и 12, полученные в 1.10.1 для финальных вероятностей состояний СМО с отказами, справедливы не только при показательном, но и при произвольном распределении времени обслуживания. Это доказал Б.А.Севастьянов в 1959г.