Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида 
(1), где 
и 
постоянны.
Частные решения уравнения (1) будем искать в виде 
, где к – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для 
в уравнение (1), получим 
т.е. 
или 
(2) ( 
).
Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.
При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.
Случай 1. Корни 
и 
уравнения (2) действительные и различные: 
. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции 
и 
. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид 
.
Случай 2. Корни и уравнения (2) действительные и равные: 
. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и 
. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид 
.
Случай 3. Корни и уравнения (2) комплексные: 
, 
. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции 
и 
. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид 
Пример.Решить уравнение
.
Решение:составим характеристическое уравнение: 
. Тогда 
. Общее решение данного уравнения 
.
