Экстремум функции нескольких переменных

Определение.Точка М (х_о,у_о) называется точкой максимума (минимума)функции z=f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполня­ется неравенство ( )

На рис. 1 точка А — есть точка минимума, а точка В — точка максимума.

Необходи­мое условие экстремума — многомерный аналог теоре­мы Ферма.

Теорема.Пусть точка – есть точка экстре­мума дифференцируемой функ­ции z=f(x, у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстрему­ма функции z=f(x, у), т.е. частные производные z'_x и z'_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходи­мое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. изображена так называемая седловая точка М (х_о,у_о). Частные производные и равны ну­лю, но, очевидно, никакого экс­тремума в точке М(х_о,у_о) нет.

Такие седловые точки явля­ются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от то­чек экстремума. Иными слова­ми, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух пере­менных).Пусть функция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической точки (х_о,у_о), в которой =0 и =0;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные вто­рого порядка ; ; Тогда, если ∆=АС— В² >0, то в точке (х_о,у_о) функ­ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС— В²<0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если ∆=АС— В²=0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремумреко­мендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции z'_x и z'_y.

2. Решить систему уравнений z'_x =0, z'_y =0 и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример.Найти экстремумы функции

Решение. 1. Находим частные производные

2. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; —1), (—1; 1) и (—1; -1).

3. Находим частные производные второго порядка:

; ; , вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выпол­нение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) A=z"(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆= АС— В² = (-1)²-0=1 >0 и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) — точка минимума, а в точках (1; —1) и (—1; 1), в которых ∆=АС— В² <0, — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Находим экстремумы функции z_max = z(l; 1) = 2, z_min = z(-l; -1) = -2,

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области опреде­ления, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравне­нием связи.

Определение.Точка называется точкой условного мак­симума (минимума),если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворя­ющих условию g (x,y) = С, выполняется неравенство

( ).

На рис. изображена точка условного максимума . Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции z = f(x,y) (на рис. это точка ).

Наиболее простым способом нахождения условного экстре­мума функции двух переменных является сведение задачи к оты­сканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи g (x,y) = С удалось разрешить относи­тельно одной из перемен­ных, например, выразить у через х: . Подста­вив полученное выражение в функцию двух перемен­ных, получим z = f(x,y) = , т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет услов­ным экстремумом функ­ции z = f(x,y).

Пример.Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное в функцию z. Получим z=x²+2 или z = . Эта функция имеет единственный минимум при = 3. Соответствующее значение функции Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С оказа­лось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относи­тельно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае исполь­зуется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множите­лем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема.Если точка является точкой условного экс­тремума функции z = f(x,y) при условии g (x,y) = С, то существует значение такое, что точка является точкой экстре­мума функции L{x,y, ).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функ­ции z = f(х,у) при условии g(x,y) = С требуется найти решение системы

На рис. показан геометрический смысл условий Ла­гранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g(x,y) = Q функции z = f(x,y) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f(x,y) касает­ся линии g(x,y) = С.

Пример.Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11, ис­пользуя метод множителей Ла­гранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа L = х² + 2у² +

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение (х=3, у=1, =—2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Не­трудно убедиться в том, что в этой точке функция z=f(x,y) имеет условный минимум.