Интегрирование простейших дробей

1 случай. Дроби вида интегрируются посредством замены переменной:

Пример 20.2: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 20.3: Вычислить интеграл

Решение:

2 случай. Дроби вида также интегрируются посредством замены переменной при предварительном выделении полного квадрата в знаменателе дроби:

Пример 20.4:Вычислить интеграл

Решение:

Пример 20.5:Вычислить интеграл

Решение:

Рассмотрим отдельно каждый из получившихся интегралов:

.

.

В результате получаем окончательный ответ

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

Пусть имеется правильная дробь . При разложении дроби на сумму простейших необходимо выполнить следующие действия:

1. Разложить знаменатель на действительные множители. При этом знаменатель будет содержать либо линейные множители вида , либо квадратичные множители вида , причем трехчлен не имеет действительных корней.
2. Представить исходную дробь в виде суммы простейших дробей. При этом каждому линейному множителю знаменателя вида соответствует простейшая дробь вида , а каждому квадратичному множителю знаменателя вида соответствует простейшая дробь вида .
3. Неопределенные буквенные коэффициенты находят так называемым методом частных значений. Суть метода состоит в следующем:
1. привести простейшие дроби к общему знаменателю;
2. приравнять числители равных дробей;
3. придавая переменной удобные значения, например корни знаменателя, получить уравнения для вычисления неопределенных коэффициентов.
4. Подставить найденные значения неопределенных буквенных коэффициентов в простейшие дроби.

Пример 20.6: Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная дробь является правильной (степень многочлена числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 2).

Проведем разложение дроби на сумму простейших.

Раскладывая знаменатель на множители, получаем

.

Так как знаменатель состоит из двух линейных множителей вида , то каждому из них будет соответствовать простейшая дробь вида . Окончательно получаем:

.

Найдем неопределенные коэффициенты и .

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем

.

Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители этих дробей, то есть

Придавая переменной удобные значения, в качестве которых будут выступать корни знаменателя и , составим систему для нахождения неопределенных коэффициентов.

Подставляя найденные значения и в простейшие дроби получаем

Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:

Пример 20.7: Вычислить интеграл

Решение:

Подынтегральная дробь является правильной (степень многочлена числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 3).

Проведем разложение дроби на сумму простейших.

Знаменатель дроби уже представлен в виде произведения, поэтому сразу переходим к анализу множителей.

Знаменатель состоит из двух множителей: и . Первый множитель является линейным множителем вида , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь вида . Второй множитель является квадратичным множителем вида , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь вида . Окончательно получаем:

Найдем неопределенные коэффициенты , и .

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем

.

Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители этих дробей, то есть

Придавая переменной удобные значения, в качестве которых будут выступать корни знаменателя и два произвольных значения , составим систему для нахождения неопределенных коэффициентов.

Подставляя найденные значения , и в простейшие дроби получаем

Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:

Рассмотрим отдельно каждый интеграл:

Окончательно получаем: