Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на четность-нечетность

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба

На основании проведенного исследования построить график функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например, 1,2,5. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность. Построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 16.5

Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. Функция не определена при х=1 и х=-1. область определения состоит из трех интервалов ( ;-1), (-1;1), (1; ), а график из трех ветвей.

2. Функция является нечетной, т.к.

3. Прямые х=-1 и х=1 -вертикальные асимптоты;

4. Выясним наличие наклонной асимптоты (теорема 16.4):

= (k=0 при x и при x ),

, подставляя в уравнение , получаем y=0 (при x и при x ) - горизонтальную асимптоту.

5. Находим интервалы возрастания и убывания функции:

. Т.к. , то функция возрастает на каждом интервале области определения. Функция экстремумов не имеет, т.к. критические точки х=-1 и х=1, в которых производная не существует, не принадлежат области определения функции.

6. Исследуем функцию на выпуклость. Находим :

x	( ,-1)	-1	(-1;0)		(0;1)		(1; )
	+		¾	т. перегиба	+		¾
y	È		Ç		È		Ç

График функции изображен на рисунке 16.3.