Максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Пусть Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих максимального и минимального значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [а; b] либо на границе отрезка, т. е. при = а или = b. Если (а; b), то точку следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 16.3).

рис. 16.3

Получаем следующее правило нахождения максимального и минимального значений функции на [а; b]:

1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х= b;
4. среди всех вычисленных значений функции выбрать максимальное и минимальное.

Замечания:

1. Если функция у = f(x)на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает максимальное (минимальное) значение. На рисунке 16.3 f( ) = (min- минимальное, max - максимальное).

2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое максимальное значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а минимальное (m) - на другом.

Пример 16.5

Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = Зх⁴ + 4х³ + 1 на отрезке [-2; 1].

Решение:

Находим критические точки данной функции: (x) = 12х³ + 12x² = 12х²(х + 1);

(x) = 0 , тогда 12х²(х + 1)=0 при = 0 [-2;1] и при = -1 [-2;1].

f(0) = 1, f(-1) = 3- 4+1 = 0,

f(-2) = 48 - 32 + 1 = 17, f(1) = 8.

Итак, = 17 в точке х = -2, = 0 в точке х = -1.