Асимптоты графика функции

Определение.Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными (рис. 16.1 а)), горизонтальными (рис. 16.1 б)), наклонными (рис. 16.1 в)).

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 16.3.Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Если , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 16.4.Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Теорема 16.5.Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х -0 (слева) или при х +0 (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая х= является вертикальной асимптотой графика функции .

Пример 16.3

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Из области определения выпадают точки x=-1 и х=1, т.к. ,

, , , следовательно, по теореме 16.5 прямые x=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами.

Исследуем данную функцию на наклонную и горизонтальную асимптоты (теоремы 16.4 и 16.3).

k= ,

y=0-горизонтальная асимптота.

График функции изображен на рис. 16.2.

Ответ: x=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты, y=0 - горизонтальная асимптота.

Пример 16.4

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

По теореме 16.4: k= , следовательно при x график функции наклонной асимптоты не имеет. При x : k= , b= график имеет горизонтальную асимптоту .