Дифференциал функции

Определение.Главная часть приращения функции y = f(x), равная произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной f¢ (x)dx, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f¢ (x)dx. Отсюда ,то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Поскольку производная - это угловой коэффициент k касательной к графику функции при , то дифференциал - это приращение ординаты y точки касательной к графику функции y = f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение : (рис. 16.1).

Рис.14.1.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Очевидны следующие свойства дифференциала

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) g(x)) = df(x) dg(x),

4. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. Если существуют df(x) и dg(x), то , g(x) ¹0

Таблица дифференциалов

Дифференциал	Пример
dС=0	d5=0
Степенная функция d(xn)=n×x(n-1) x¢dx	d(x4)=4x3dx
Показательная функция d(ax)=axlna×x¢dx	d(4x)=4xln4dx
d(logax)= ×x¢dx	d(log3x)= dx
d(lnx) = ×x¢dx	d(lnx2)= ×2xdx
d(ex)=ex×x¢dx	d(e3x)=3e3xdx
d(sinx)=cosx×x¢dx	d(sin5x)=5cos5xdx
d(cosx)= -sinx×x¢dx	d(cos8x)=-8sin8xdx
d(tgx)= ×x¢dx	d(tg5x)= ×5dx
d(ctgx)= - ×x¢dx	d(ctgx2)= - ×2xdx
d(arcsinx) = × x¢dx	d(arcsinx3) = ×3x2dx
d(arccosx)= - × x¢dx	d(arccos ) = - × dx
d
d
d( )= ×x¢dx	d( )= ×3x2dx

Пример 14.1

Найти дифференциал функции .

Решение.

Пример 14.2

Найти и вычислить дифференциал функции при х=0, dx=0,1.

Решение.