Производная сложной функции

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x))имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Таблица производных сложных функций.

Производная	Пример
(С)¢=0	(5)¢=0
(x)¢=1	(8x)¢=8
Степенная функция (xn)¢=n×x(n-1) х¢	(x4)¢=4x3
Показательная функция (ax)¢=axlna×x¢	(4x)¢=4xln4
(logax)¢= ×x¢	(log3x)¢=
(lnx)¢ = ×x¢	(lnx2)¢= ×2x
(ex)¢=ex×x¢	(e3x)¢=3e3x
(sinx)¢=cosx×x¢	(sin5x)¢=5cos5x
(cosx)¢= -sinx×x¢	(cos8x)¢=-8sin8x
(tgx)¢= ×x¢	(tg5x)¢= ×5
(ctgx)¢= - ×x¢	(ctgx2)¢= - ×2x
(arcsinx)¢= × x¢	(arcsinx3) ¢= ×3x2
(arccosx)¢= - × x¢	(arccos ) ¢= - ×
( )¢ = ×x¢	( )¢ = ×3x2
если U=U(x), V=V(x), то y=UV степенно-показательная функция (UV )¢=UV×lnU×V¢+V×U(V-1)×U¢	y¢=(sin2x)( +1)× ln(sin2x)×2x+(x2+1)×(sin2x) ×cos2x×2