Предел функции. Основные теоремы о пределах.

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (иногда говорят, при x, стремящемся к x₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x₀ соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < êx - x₀ê < d, выполняется условие êy - Aê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x₀, записывается формулой

.

Рис.11.1.Предел при x .

Свойства предела функции

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C - постоянная функция.

3. Если существует и C - постоянная функция, то

.

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный .

Примеры 11.1

1. 3-2+7=8.

2. (применить четвертое свойство (для частного) нельзя, т.к. предел знаменателя при x 2 равен нулю; в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида ; для ее раскрытия раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители) = . Аналогичный приём вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

3. (домножим и разделим дробь на выражение сопряженное числителю) =(в числители разность квадратов) = = = - = .

В случае иррациональности в числителе и знаменателе необходимо домножить и разделить дробь на выражение сопряженное числителю и знаменателю.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Определение. Число B называется пределом функцииf(x)в точке справа (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x - < d будет следовать êB -f(x) ê < e (рис. 11.2).

Рис.11.2.Предел справа

Пример 11.2

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Определение. Число С называется пределом функцииf(x)в точке слева (это записывается в виде формулы ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < - x < d будет следовать

êC - f(x)ê < e (рис. 11.3).

Рис.11.2.Предел слева

Пример 11.3

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

Определение. Левосторонний и правосторонний пределы функции называются односторонними пределами этой функции при x . Чтобы подчеркнуть отличие от односторонних пределов, предел называют двусторонним пределом (рис. 11.4).

Рис.11.4.Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½f(x) - A½ < e.

При решении пределов при х, стремящемся к бесконечности, следует применять следующее правило: =

Пример 11.4

1. = .

2. (неопределенность вида ; разделим числитель и знаменатель на )= (функции являются бесконечно малыми и равны нулю).

3. = (так как показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя)

4. =0 (так как показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя).