Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение.Квадратичной формойL( , х₂, ..., х_n) от n пере­менных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

L( ,х₂,,...,х_n) =

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем

= . Матрица А=( ) (i, j = 1, 2, ...,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х'АХ, где X = (х_1, х₂,..., х_n)' - матрица-столбец переменных.

Пример 8.1

Записать квадратичную форму L( , х₂, х₃)= в матричном виде.

Решение.

Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диа­гональные элементы равны коэффициентам при квадратах пере­менных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы - половинам соответст­вующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

L=( , х₂, х₃) .

При невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: А^* =С'АС. (*)

Пример 8.2

Дана квадратичная форма L(x_x, х₂) =2х₁²+4x₁x₂-3 . Найти квадратичную форму L(y₁,y₂),полученную из данной линейным преобразованием = 2у₁ - 3y₂, x₂ = у₁ + у₂.

Решение.

Матрица данной квадратичной формы A= , а матрица линейного преобразования

С = . Следовательно, по (*) матрица искомой квадратичной формы

, а квадратичная форма имеет вид

L(y_1, y₂) = .

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных ли­нейных преобразованиях вид квадратичной формы можно суще­ственно упростить.

Определение.Квадратичная форма L( ,х₂,...,х_n) = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты = 0 при i¹j:

L= , а её матрица является диагональной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема.Любая квадратичная форма с помощью невырожден­ного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример 8.3

Привести к каноническому виду квадратичную форму

L( , х₂, х₃)=

Решение.

Вначале выделим полный квадрат при перемен­ной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэф­фициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду:

Канонический вид квадратичной формы не является одно­значно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способа­ми. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм).Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратич­ной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линей­ных преобразованиях.

Определение.Квадратичная форма L( , х₂, ..., х_n) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях перемен­ных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

L( , х₂, ..., х_n) > 0 (L( , х₂, ..., х_n) < 0).

Так, например, квадратичная форма явля­ется положительно определенной, а форма - отрицательно определенной.

Теорема.Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и доста­точно, чтобы все собственные значения , матрицы А были поло­жительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадра­тичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема.Для того чтобы квадратичная форма была положи­тельно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все глав­ные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е.

>0, > 0,..., >0, где

=

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадра­тичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка.

Пример 8.4

Доказать, что квадратичная форма L = является положительно определенной.

Решение.

Матрица А квадратичной формы

имеет вид А = . Для матрицы А характеристическое

уравнение или .

Решая уравнение, найдем = 14, = 4. Так как корни ха­рактеристического уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма L - поло­жительно определенная.