Уравнение прямой на плоскости. Прямая в пространстве.

Определение.Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y) с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁(x,y)=0 и F₂(x,y)=0, сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными: . Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:y=kx+b, где число k называется угловым коэффициентом, а число b- свободным членом.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла a наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси Ox.

Рис. 7.1. График линейной функции - прямая

Рассмотрим частные случаи уравнения.

1. если b=0, то y=kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при k=tga>0 - острый угол a с осью Ox, а при k=tga<0 - тупой угол
2. если a=0, то k=tga=0, уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид y=b
3. если a= , то уравнение y=kx+b теряет смысл, т. к. для неё угловой коэффициент k= tga= tg не существует и уравнение имеет вид: x=a, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М( , ):y- =k(x- ).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: ,где т.М₁( ) и т.М₂( ).

Уравнение прямой в отрезках: , где числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Общее уравнение прямой:Ax+By+C=0, где А, В, С- произвольные числа, причем А и В одновременно не равны нулю.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:

1. если А=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Ox
2. если В=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Oy
3. если С=0, то Ax+By=0 -уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Угол между двумя прямыми:tga= , где - угловые коэффициенты данных прямых. Если , то прямые параллельны, если , то прямые перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой:d= , где , -координаты данной точки, а А, В, С - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+C=0.

Пример 7.1

Найти расстояние от точки М₀(2;-1) до прямой 3x+4y-22=0.

Решение.

d= = =4.

Ответ: d=4.

Определение.Уравнение плоскости, записанное в виде Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей: .

Условие перпендикулярности двух плоскостей: .

Прямая в пространствеможет быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе:

.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:еслипрямаяпараллельна направляющему вектору и проходит через точку , то её уравнение имеет вид: .

Расстояние от точки до плоскости:d= , где , , -координаты данной точки, а А, В, С, D - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+Cz+D=0.

Пример 7.2

Найти расстояние от точки М₀(1;-2;1) до прямой 2x+3y-z=1.

Решение

d= = = = .

Ответ: d= .