Линейная зависимость и независимость векторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Определение.Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Пример 6.1

Дано: {2;-3;1}, {3;2;-4}. Найти линейную комбинацию векторов 2 +3 .

Решение.

2 +3 =2{2;-3;1}+3{3;2;-4}={4;-6; 2}+{9;6;-12}={13;0;-10}.

Определение.Система векторов называется линейно независимой тогда и только тогда, когда и все коэффициенты

Определение.Система векторов называется линейно зависимой тогда и только тогда ( ), когда и не все коэффициенты равны нулю, т. е. когда уравнение имеет ненулевое решение.

Пример 6.2

Линейно зависимы ли данные векторы: {2;3;3}, {3;4;5}?

Решение.

Составим линейную комбинацию векторов:

{2;3;3}+ {3;4;5}={0;0;0} = =0 и - линейно независимы.

Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Введем обозначения.

Е - единичная матрица размерности n n; = -матрица; X= - вектор-столбец; в качестве линейного оператора выступает матрица А.

Определение.Вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А, если: 1)X 0; 2) существует такое число , что АX= x.

Определение.Скаляр называется собственным значением матрицы А.

Теорема. Скаляр называется собственным значением матрицы А .

Определение.Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А, корни которого являются собственные значения матрицы А.

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А

1. Записать характеристическое уравнение матрицы А: . Решив его, найдем корни уравнения, т. е. собственные значения матрицы А.

2. Найдем собственные векторы , принадлежащие собственным значениям . Для этого находим ненулевые решения однородной системы матрицы А:

. Каждое ненулевое решение вектора-столбца определяет собственный вектор X.

Пример 6.3

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А= .

Решение.

1. Запишем характеристическое уравнение матрицы А: решив как квадратное уравнение, получаем =1+ , =1- - собственные значения матрицы А.

2. Найдем собственные векторы , принадлежащие =1+ .

Пусть X= -(искомый собственный вектор)ненулевое решение уравнения: (А- Е) X=0

( - ) = ( - ) = =

Составим и решим основную матрицу системы: , тогда . Положив = , получим векторы

3. Найдем собственные векторы , принадлежащие =1- .

X= -ненулевое решение уравнения: (А- Е) X=0

( - ) = ( - ) = =

Составим и решим основную матрицу системы: , тогда . Положив = , получим векторы .

Ответ: при =1+ , при =1- .