Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений . Рассмотрим расширенную матрицу (А½В) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (А¢½В¢).

Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(А¢½В¢), то система несовместна. Если r(A)=r(А¢½В¢)=n, где n-число неизвестных, то система совместна и определена. Если r(A)=r(А¢½В¢)<n, где n-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.

Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.

Пример 4.2

Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение.

r(A)=r(А¢½В¢)=n система совместна и определена.

Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:

Решая её, получаем:

Ответ: = , , .

Пример 4.3

Найти общее решение системы: .

Решение.

Составим матрицу системы: А=

Приведем её к треугольному виду:

r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и , а свободные находим из условия (n-r), где n-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это .

Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную: = , получаем общее решение в виде:

Пример 4.4

Найти общее решение системы:

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

А½В=

r(A)= r(A½В)=2<n, где n-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и , а свободные находим из условия (n-r), где n-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит , -свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную: = , , получаем общее решение в виде: .