Пусть дана система линейных уравнений 
. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А= 
, вектор-столбец неизвестных: X= 
и вектор-столбец свободных членов: B= 
. Теперь запишем систему (1) в матричной форме: A×X=B.
Теорема Крамера.Пусть
-определитель матрицы А, j- определитель матрицы, получаемой из А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 
0, то система имеет единственное решение: 
, (1£j£n).
Пример 4.1
Решить систему линейных уравнений: 
методом Крамера.
Решение.
Основная матрица системы А= 
и вектор-столбец свободных членов: B= 
.
Найдем определитель 
= =3×(-1)1+1 
+0×(-1)2+1 
+1×(-1)3+1 
=3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к. ¹0, следовательно, можно применить формулы Крамера.
Найдем определители 
, 
, 
, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:
= 
=1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;
= 
=3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;
= 
=3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.
Тогда, по формуле Крамера:
= 
= - 
= 
;
= 
;
= 
.
Ответ: = , 
, 
.
