Действия над матрицами

1. Операция сложения матриц

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что ( )= +( ), где i=1,…,m; j=1,…,n.

Пример 1.5.

Произвести сложение матриц A= и B=

Решение.

+ = .

2. Операция разности матриц

Аналогично определяется разность матриц.

3. Операция произведения матриц

Операция произведения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что = , где i=1,…,m; k=1,…,p, т. е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 1.6

Произвести умножение матриц и .

Решение.

4. Произведение матрицы на число

Произведение матрицы на число k называется матрица такая, что b_ij= k×а_ij (i=1,…,m; j=1,…,n).

Пример 1.7

Произвести умножение матрицы на число k=2.

Решение.

5. Возведение матрицы в натуральную степень

Возведение в натуральную степень квадратной матрицы А происходит по правилу: , причем по определению 1) ,2) .

Пример 1.8

Вычислить: .

Решение.

= × = =

Определение. Матрица -А=(-1)×А называется противоположной.

Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся:

1. перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2. умножение всех элементов рада матрицы на число, отличное от нуля;

3. прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.