Определители. Ранг матрицы.

Определение. Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и обозначается, например определитель матрицы А, следующим образом: или , или detA.

Пример 2.1

Найти определитель матрицы В, если:

1. В= , тогда определитель

2. В= , тогда определитель

Таким образом, получаем формулу для нахождения определителя второго порядка:

Если А= , то =

Определение.Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученного из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример 2.2

Дано: А= Найти все миноры матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец: = =12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец: = =0-2= -2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец: = = 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец: = = 4-4=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец: = = 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец: = = 6-1=5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец: = = 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец: = = 6-0=6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец: = = 9-0=9.

Определение.Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j, т. е. =(-1)^i+j× .

Пример 2.3

Дано: А= Найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец: = (-1)¹⁺¹ =12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец: = (-1)¹⁺² = -(0-2)= 2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец: = (-1)¹⁺³ = 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец: = (-1)²⁺¹ = -(4-4)=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец: = (-1)²⁺² = 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец: = (-1)²⁺³ = -(6-1)= -5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец: = (-1)³⁺¹ = 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец: = (-1)³⁺² = -(6-0)= -6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец: = (-1)³⁺³ = 9-0=9.

Теорема Лапласа.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение:

= .

Пример 2.4

Дано: А= Вычислить определитель третьего порядка.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив, например, первый столбец:

=3×(-1)¹⁺¹ +0×(-1)²⁺¹ +1×(-1)³⁺¹ =3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.