Системы счисления

Система счисления это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Информация в ЭВМ кодируется в двоичной или двоично-десятичной системе счисления. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при их расположении в числе (например, римская система счисления).

Количество различных цифр (P), используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P-1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд вида: a_m-1p^m-1 + a_m-2p^m-2+ ….. +a₁p¹+a₀p⁰+a_-1p^-1+ …..a_-sp^-s , где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд).

Максимальное число, которое может быть представлено в m разрядах выражается формулой N_max = p^m – 1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в S-разрядах дробной части выражается формулой N_min= p^-s

Всего можно записать p^m+s разрядов чисел.

Десятичная система счисления имеет основание системы "10". Используемые символы: 0-9. Любое число представляется как сумма степеней по основанию "10" с коэффициентами. Показатели степеней меняются от 0 до n. Коэффициенты изменяются от 0 до 9.Совокупность коэффициентов при степенях и образует соответствующие десятичные числа.

Например, десятичное число 1357 можно представить следующим образом: 1357₍₁₀₎=1*10³+3*10²+5*10¹+7*10⁰

Двоичная система счисления имеет основание системы "2". Используемые символы: 0 и 1. Любое число в двоичной системе представляется как сумма степеней по основанию "2" с коэффициентами. Показатели степеней изменяются от 0 до n. Коэффициенты могут принимать значения только 0 и 1. Совокупность коэффициентов при степенях и определяет соответственно двоичное число. Например: 10111₍₂₎=1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰, 10111₍₂₎=23₍₁₀₎

Восьмеричная система счисления имеет основание системы "8". Используемые символы: 0-7. Любое число в восьмеричной системе представляется как сумма степеней по основанию "8" с коэффициентами. Показатели степеней изменяются от 0 до n, а Коэффициенты от 0 до 7. Совокупность коэффициентов при степенях и определяет соответствующее восьмеричное число.

Например: 573₍₈₎=5*8²+7*8¹+3*8⁰, 573₍₈₎=379₍₁₀₎

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание системы "16". Используемые символы: 0-9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14),F(15). Любое число в шестнадцатеричной системе представляется как сумма степеней по основанию"16" с коэффициентами. Показатели степени изменяются от 0 до n, коэффициенты изменяются от 0 до F(15). Совокупность коэффициентов при степенях и образует соответствующие шестнадцатеричные числа.

Например: 9D1₍₁₆₎=9*16²+D*16¹+1*16⁰. 9D1₍₁₆₎=2513₍₁₀₎