Логические операции над предикатами - дизъюнкция и конъюнкция. Область истинности. Показать на диаграмме.

Предикаты, так же, как высказывания , принимают два значения И и Л (0,1), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Пусть на множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

1. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х) &Q(х), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений х€М, при которых каждый из предикатов принимает значение истина, и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката Р(х) &Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), то есть пересечение J_P∩J_Q

Пример: для предикатов Р(х): «х - четное число» и

Q(х); «х-кратно 3», конъюнкцией является предикат : «х - число четное и кратное 3», то есть предикат « х –делится на 6»

2. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) Называется новый предикат Р(х)vQ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х€М, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и значение «истина» во всех остальных случаях.

Множеством истинности предиката Р(х)vQ(х), х€М, является объединение областей истинности данных предикатов J_P U J_Q

3.Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат Р(х) который принимает значение «истина» при всех тех значениях х€М , при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь» и принимает значение «ложь» при всех тех значениях х€М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

(Предикат Р(х) определен на том же множестве , что и предикат Р(х), причем предикат Р(х) истинен при тех значениях х€М, при которых предикат Р(х) ложен , и наоборот.)

Областью истинности предиката Р(х) является разность между М и областью истинности предиката Р(х), то есть J_p=M\J_p.

( множество истинности предиката Р(х) является дополнением к множеству истинности предиката Р(х) до множества М.)

Пример: Р(х): «х – четное число» определен на множестве Z и его область истинности J_p- множество четных чисел.

Тогда Р(х): «х – нечетное число» определен на множестве Z, а его область истинности J_p - множество нечетных чисел, то есть J_p =Z\ J_p.

4. Импликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х) →Q(х), который является ложным при тех и только тех значениях х€М, при которых одновременно предикат Р(х) принимает значение истина, а Q(х) значение «ложь» и принимает значение истина во всех остальных случаях.

Читают «Если Р(х) , то Q(х)».

Пример: Р(х): «Натуральное число х делится на 3» и Q(х): « Натуральное число х делится на 4» . Импликация «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится на 4».Это предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других. (аналогично импликации высказываний)

При х=12 Р(х) – истинно и Q(х) – истинно → истинна импликация.(истины и условие и следствие)

При х= 15 Р(х) - истинно а Q(х) – ложно → импликация ложна.(условие выполнено, а следствие нет)

При х=14 Р(х) - ложно и Q(х) – ложно → импликация истинна.( условие не выполняется)

Множеством истинности предиката Р(х) →Q(х) является объединение множества истинности предиката Q(х) и дополнения к множеству истинности предиката Р(х). J_p/U J_Q.