Если а и b – объекты, то через (а,b) обозначим упорядоченную пару, а а и b – компонентами этой пары.
Равенство упорядоченных пар определяется следующим образом: (а,b)=(c,d) если a=c, b=d. Пары (а,b) и (b,а) различны.
Пример: число 27 состоит из цифр 2 и 7. Если их переставить, то получится другое число 72. Говорят, что (2;7)- упорядоченная пара.
Упорядоченные пары можно составлять не только из чисел, но и из элементов любых множеств.
Пример : из букв множества Х={а;б;в} можно составить девять упорядоченных пар: (а;а), (а;б), (а;в), (б;а), (б;б), (б;в), (в;а), (в;б), (в;в).
Более общее понятие упорядоченной пары получается, если братье компоненты из различных множеств, например: компоненту х из множества Х и компоненту у из множества У.
Пусть заданы два множества Х={а;б;с} и Y={4;5}. Образуем из элементов этих множеств пары так, чтобы первая компонента пары принадлежала множеству Х, а вторая множеству Y. Все эти пары составляют множество:{(а;4); (а;5); (в;4); (в;5); (с;4); (с;5)}, которое называют декартовым произведением множеств Х и Y и обозначают Х ×Y.
Декартовым произведением множеств Х и Y называют множество Х ×Y, элементами которого являются все пары (х;у) такие, что х € Х, у € Y, т.е.
Если множества Х и Y совпадают, т.е. Х = Y, то множество Х ×Х состоит из всех пар (х;у) таких, что х € Х, у € Х
Полагают, что Х×Ø = Ø×Х = Ø для любого множества Х.
Декартово произведение множеств не обладает ни свойством коммутативности, ни свойством ассоциативности:
1) если Х ≠ Y , то Х ×Y≠ Y ×Х;
2) если ни одно из множеств X, Y, Z не пусто, то
X×(Y×Z)≠(X×Y)×Z.
Элементы декартова произведения двух конечных множеств удобно располагать в виде таблицы, где по вертикали располагают элементы множества Х, по горизонтали – элементы множества Y, а элементы множества Х ×Y пишут на пересечениях соответствующих строк и столбцов.
х у
а
(а;4)
(а;5)
b
(b;4)
(b;5)
с
(c;4)
(c;5)
В таблице изображены элементы декартова произведения множеств Х={а;б;с} и Y={4;5}.
Точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть двумя точками на координатных осях. Таким образом , R2 = R×R. Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596-1650), отсюда и название «декартово произведение».
Пусть множество Х состоит из n элементов, а множество Y из m элементов.
Х={х1,х2,…..хn} и Y={y1,y2.......ym}. Тогда первый компонент упорядоченной пары можно выбрать n способами, второй m способами. Таким образом, всего имеется n*m упорядоченных пар.
Степенью множества А называется его произведение самого на себя. Обозначение:
Понятие декартова произведения множеств допускает обобщение. Произведение множеств А1,….,Аn – это множество наборов (кортежей):
Множества Аi не обязательно различны.
Число n называют длиной кортежа.
Пример: декартово произведение множеств А1={1;2}, А2= {3;4}, А3= {5;6;7} имеет вид: А1×А2×А3={(1;3;5);(1;3;6);(1;3;7);(1;4;5);(1;4;6);(1;4;7);(2;3;5);(2;3;6);(2;3;7);(2;4;5);(2;4;6);(2;4;7)}
Одноместный предикат. Областью определения предиката. Множество истинности предиката. Пример. Тождественно истинные и тождественно ложные предикаты.
Логика предикатов представляет собой дальнейшее развитие алгебры логики. Она содержит в себе всю алгебру высказываний, то есть элементарные высказывания, которые рассматриваются как величины, принимающие два значения: истина и ложь, все операции алгебры логики и, следовательно, все её формулы.
Но, помимо этого, логика предикатов вводит в рассмотрение новое понятие - понятие предиката.
Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в истинное или ложное высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом А (х).
Одноместным предикатом А(х) называется произвольная функция переменной х, определенная на множестве М и принимающая значения на множестве {1;0}
Пример: «Поэт х написал поэму «Полтава»».
Для каждого одноместного предиката надо указать множество значений, которые может принимать переменная х. Его называют областью определения предиката.
Для примера: Множество М должно быть определено однозначно - множество поэтов, о которых есть статьи в «Литературной энциклопедии» последнего издания.
Пример: предикат Р(х) – «х – четное число» определен на множестве Z целых чисел.
Каждый предикат Р (х), х€М, определяет подмножество Т ٱ М, состоящее из элементов, при подстановке которых в Р (х) вместо х получается истинное высказывание. Это подмножество называют множеством истинности предиката.
Множество всех элементов х€М, при которых предикат Р (х) принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р (х) и обозначается Jp
Если Jp=М, то предикат Р(х) называется тождественно истинным, а если Jp=Ø , то предикат Р(х) называется тождественно ложным.
Для примера Jp ={Пушкин}- множество истинности.
Для предиката « Поэт Пушкин написал поэму х» множество истинности Jp={«Руслан и Людмила», «Кавказский пленник»; «Гавриилиада»; «Вадим» и т.д.}
Предикат Р(х) – «х- простое число» определен на множестве N, а его множеством истинности Jp является множество всех простых чисел.
Предикат Q(x) –“ sinx=0” определён на множестве R всех действительных чисел, а его множество истинности {kπ, k€Z}.
Степенью множества А называется его произведение самого на себя. Обозначение: