Кванторы.

В логике предикатов рассматриваются две операции, которыё превращают одноместный предикат в высказывание, для этого используются специальные слова, которые ставят перед предикатами. В логике их называют кванторами.

Различают два вида кванторов:

1. Квантор общности;

2. Квантор существования.

1. Квантор общности.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М

Символ называют квантором всеобщности (общности). Это перевернутая первая буква английского слова All- все. Читают «все», «каждый», «любой», «всякий». Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

Пример №1: Р(х) – «Простое число х нечетно»

Добавим квантор общности – «Всякое простое число х нечетно» - ложное высказывание.

Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

2. Квантор существования.

Пусть P(x) -предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

( Читают: «Существует такое х из М, при котором Р от х истинно»)

Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х€М (хотя бы один), для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае.

Пример №2 : Р(х) «Число х кратно 5»

-любое натуральное число кратно 5»

- каждое натуральное число кратно 5» ложные высказывания

-все натуральные числа кратны 5»

- существует натуральное число кратно 5

- найдется натуральное число кратно 5 истинные высказывания

- хотя бы одно натуральное число кратно 5

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Для построения отрицаний с кванторами надо:

1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности;

2) предикат заменить его отрицанием.

Таким образом, справедливы формулы:

Отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения – как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение – тот же смысл, что . Иначе говоря, равносильно ; равносильно .

П р и м е р №3. Построить отрицание высказывания «некоторые двузначные числа делятся на 12».

Р е ш е н и е. Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед глаголом. Получим высказывание «Все двузначные числа не делятся на 12».

П р и м е р №4. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».

Р е ш е н и е. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слов «хотя бы один». По правилу построения отрицаний высказываний с кванторами надо квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности и убрать у глагола частицу «не». Получим: «Найдется такой класс, в котором все ученики справились с контрольной работой».