Моделирование непрерывных случайных величин

Рассмотрим особенности генерации на ЭВМ непрерывных случайных вели­чин. Непрерывная случайная величина задана интегральной функ­цией распределения

где f_η(у) — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин, можно воспользоваться методом обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция , полученная решением относитель­но уравнения F_η(y)= , преобразует равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину в с требуемой плотностью f_η(у).

Действительно, если случайная величина имеет плотность рас­пределения f_η(у), то распределение случайной величины

является равномерным в интервале (0,1). На основании этого можно сделать следующий вывод. Чтобы получить число, принад­лежащее последовательности случайных чисел {y_j}, имеющих функ­цию плотности f_η(у), необходимо разрешить относительно у_j урав­нение

(24)

Рассмотрим некоторые примеры получения методом обратной функции непрерывных случайных величин с заданным законом рас­пределения на основе случайных чисел, имеющих равномерное рас­пределение в интервале (0,1).

Пример 2. Необходимо получить случайные числа с показательным законом распределения

В силу соотношения (24) получим

где x_i — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0,1). Тогда

Учитывая, что случайная величина = 1- имеет также равномерное распределение в интервале (0, 1), можно записать y_j = .

Можно привести и другие примеры использования соотношения (24). Но этот способ получения случайных чисел с заданным законом распределения имеет ограниченную сферу применения в практике моделирования систем на ЭВМ, что объясняется следу­ющими обстоятельствами: 1) для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах моделирования, интеграл (24) не берется, т. е. приходится прибегать к численным методам решения, что увеличивает затраты машинного времени на получение каждого случайного числа; 2) даже для случаев, когда интеграл (24) берется в конечном виде, получаются формулы, содержащие действия логарифмирования, извлечения корня и т.д., которые выполняются с помощью стандартных подпрограмм ЭВМ, содер­жащих много исходных операций (сложения, умножения и т. п., что также резко увеличивает затраты машинного времени на получение каждого случайного числа.

Поэтому в практике моделирования систем часто пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел, которые можно классифицировать следующим образом: а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числи с законом распределения любого вида; б) неуниверсальные способы пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Рассмотрим приближенный универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {у_j}с функцией плотности f_η(у), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим f_η(у) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на т интервалов, как это показано на рис. 1, и будем считать f_η(у) на каждом интервале постоянной.

Рис.1. Кусочная аппроксимация функции плотности

Тогда случайную величину можно пред­ставить в виде , где а_k — абсцисса левой границы k-го интервала; — случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-гоинтервала, т. е. на каждом участке , величина * считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать f_η(у) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b)на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой ин­тервал (a_k, a_k+1) была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала k. Таким образом, для вычисления a_k воспользуемся следующим соотношением:

(25)

Алгоритм машинной реа­лизации этого способа полу­чения случайных чисел сво­дится к последовательному выполнению следующих дей­ствий:

1) генерируется случай­ное равномерно распределен­ное число x_i из интервала (0, 1);

2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал (a_k, a_k+1);

3) генерируется число x_i+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (a_k, a_k+1), т. е. домножается на коэффициент ;

4) вычис­ляется случайное число с требуемым законом распределения.

Рассмотрим более подробно процесс выборки интервала (a_k, a_k+1) с помощью случайного числа х_i. Целесообразно для этой цели построить таблицу (сформировать массив), в которую предварите­льно поместить номера интервалов k и значения коэффициента масштабирования, определенные из соотношения (6) для приве­дения числа к интервалу (а, b). Получив из генератора случайное число х_i, с помощью этой таблицы сразу определяем абсцессу левой границы а_к и коэффициент масштабирования (a_k+1 - a_k).

Достоинства этого приближенного способа преобразования слу­чайных чисел: при реализации на ЭВМ требуется небольшое коли­чество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точ­ности аппроксимации, т. е. от количества интервалов т.

Рассмотрим еще один приближенный метод - метод Неймана. Суть его состоит в следующем. Пусть закон распределения вероятностей, который требуется ввести в последовательность случайных чисел, представлен плотностью f_η(у), ограниченной на интервале (a, b) и для которой Для получения случайных чисел η с плотностью f_η(у) генерируется пара исходных чисел (x₁, x₂), которая преобразуется в новую пару чисел x₁^* = a+(b - a)*x₁ и x₂^* = M*x₂. Если f_η(x₁^*) ≥ x₂^*, то η = x₁^*, в противном случае необходимо вновь получить пару исходных чисел (x₃, x₄), преобразовать их, проверить условие и т.д.

Рассмотрим способы преобразования последовательности рав­номерно распределенных случайных чисел {x_i} в последователь­ность с заданным законом распределения {y_j} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом рас­пределения, т. е. не являются универсальными. Поясним сказанное примерами.

Пример 3. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {y_j}, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием а исредним квадратическим отклонением :

Будем формировать случайные числа y_j в виде сумы последовательностей слу­чайных чисел {x_i}, имеющих равномерное распределение в интервале (0,1). Так как исходной (базовой) последовательностью случайных чисел {х_i} при суммировании является последовательность чисел, имеющих равномерное распределение в интерва­ле (0, 1), то можно воспользоваться центральной предельной теоремой для одинаково распределенных случайных величин: если независимые одинаково
распределенные случайные величины x₁, …,х_N имеют каждая математическое ожида­ние a₁, a среднее квадратическое отклонение ,то сумма асимптотически нормальна с математическим ожиданием a=Na₁ исредним квадратическим от­клонением .

Как показывают расчеты, сумма имеет распределение, близкое к нормаль­ному, уже при сравнительно небольших N. Практически для получения последовате­льности нормально распределенных случайных чисел можно пользоваться значениями N=8-12, а в простейших случаях — меньшими значениями N, например N=4-5.