Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим осо­бенности преобразования для случая получения дискретных случайных величин. Дискретная случайная величина принимает значения y₁ ≤ y₂ ≤ …≤ y_j ≤… с вероятностями p₁, p₂, ..., pj, ..., состав­ляющими дифференциальное распределение вероятностей

y y₁ y₂ … y_j…,

P( =y) p₁ p₂ … p_j… . (20)

При этом интегральная функция распределения

(21)

Для получения дискретных случайных величин можно использо­вать метод обратной функции. Если — равномерно распределенная на интервале (0,1) случайная величина, то искомая случайная величина получается с помощью преобразования

(22)

где — функция, обратная .

Алгоритм вычисления по (21) и (22) сводится к выполнению следующих действий:

если x_i<р, то =y₁, иначе

если x_i<p₁+ p₂, то =у₂, иначе

……………………………….

если , то =у_m, иначе

………………………………. (23)

При счете по (23) среднее число циклов сравнения .

Пример 1. Необходимо методом обратной функции на основании базовой
последовательности случайных чисел {х_i}, равномерно распределенных в интервале (0,1), получить последовательность чисел {y_j}, имеющих биноминальное распределе­ние, задающее вероятность у удачных исходов в N реализациях некоторого экс­перимента:

где р=0,5 и N=6.

Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения соответст­венно будут М[у]=пр, D[y]=np(1-p).

Используя для p_j обозначения, принятые в (23), вычислим;

j
yj
pj	0,01562	0,09375	0,23438	0,31250	0,23438	0,09375	0,01562
	0,01562	0,10937	0,34375	0,65625	0,89063	0,98438	1,00000

Например, получив из равномерного распределения число х_i =0,85393 и проведя сравнения по алгоритму (23), найдем, что х_i =0,85393<0,89063, т. е. y_j=4.

При этом среднее число циклов сравнения =1*0,01562+2*0,09375+ +3*0,23438+4*0,31250+5*0,23438+6*(0,09375+0,01562) 3,98.