Введение

Методы аппроксимации сплайнами

Кусочно-квадратичный полином

Интерполяция с помощью многочленов Лежандра

Универсальная степенная функция или кривая МАИ

l – максимальный размер

При значении f=0 и m=0 уравнение описывает уравнение окружности.

При значении f=0 и m=1 уравнение описывает уравнение параболы.

При значении f=1 и m=0 уравнение описывает уравнение прямой.

Пусть задан набор точек (x_1,y₁)(x₂,y₂)…(x_n,y_n), заданных на плоскости, причем x_i ≠ x_j при i≠j.

Для таких точек можно непосредственно написать формулу интерполяционного многочлена n-1 степени. Он будет иметь вид:

Или

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка:

a ≤ x₁ < x₂ <…< x_n ≤ b

a ≤ y₁ < y₂ <…< y_n ≤ b

Аппроксимируем функцию, заданную сеткой, кусочно-квадратный полином вида:

В интервале

При этом накладывается условие:

1. неразрывна в узлах сетки

где

2. дифференцируема

3. значение производной в некотором узле = некоторому значению

Распишем подробнее накладываемое условие, тогда получим систему уравнений:

«сплайн» - (фран. – «гибкая линейка»)

В общем виде кусочно-полиноминальный функции представляется

следующем образом:

Функция представляет собой многочлен со степенью не выше m.

Условие неразрывности в узлах задается вторым уравнением, у которого j является производной от функции p(x).

При условии когда n = m возникает максимальное количество ограничений, при этом существует особый случай когда n = m = 3 и этот случай получил впервые название (термин) сплайн.

Простым сплайном называется кусочно-полиноминальная функция, задаваемая системой уравнений при n = m.

Линейный, квадратичный, кубический сплайн отличается от кусочно-полиноминальной функции при n =1, 2, 3 соответственно.